Na nowy rok szkolny

Na nowy rok szkolny
Większość Czytelników była gdzieś na wakacjach - czy to w naszym pięknym kraju, czy w krajach ościennych, a może dalekich, zamorskich nawet. Korzystajmy z tego, póki granice są dla nas otwarte… Jaki znak nam najczęściej towarzyszył w bliskich i dalekich podróżach? To strzałka - wskazująca kierunek zjazdu z autostrady, dalszy ciąg górskiego szlaku, wejście do muzeum, wstęp na plażę i tak dalej, i tak dalej. Co w tym wszystkim interesującego? Matematycznie rzeczywiście niewiele. Pomyślmy jednak: ten znak jest oczywisty dla wszystkich… reprezentantów cywilizacji, w której kiedyś strzelało się z łuku. Co prawda, udowodnić tego nie można. Nie znamy innej cywilizacji. Matematycznie ciekawszy jest jednak pięciokąt foremny i jego gwiaździsta odmiana - pentagram.

Nie musimy mieć jakiegokolwiek wykształcenia, by uznać te figury za intrygujące i ciekawe. Jeśli, Czytelniku, popijałeś pięciogwiazdkowy koniak w pięciogwiazdkowym hotelu przy Placu Gwiazdy w Paryżu, to może... urodziłeś się pod szczęśliwą gwiazdą. Gdy ktoś poprosi nas o narysowanie gwiazdy, bez wahania narysujemy pięcioramienną, a gdy rozmówca zdziwi się: „Przecież to symbol byłego ZSRR!”, możemy odpowiedzieć: „Zależy, co się komu z czym kojarzy – dla mnie to gwiazda, która wiodła Królów do Stajenki!”.

pentagram

Pentagram, czyli gwiazda pięcioramienna, foremny pięciokąt gwiaździsty, został zaanektowany przez całą ludzkość. Co najmniej jedna czwarta państw, włączając USA i były ZSRR, umieściła ją w swoich emblematach. W dzieciństwie uczyliśmy się rysować gwiazdkę pięcioramienną bez odrywania ołówka od kartki. W życiu dorosłym bywa ona dla nas gwiazdą przewodnią, niezmienną, daleką, symbolem nadziei i losu, wyrocznią. Przyjrzyjmy się mu od strony matematycznej.

Co nam mówią gwiazdy?

Historycy są zgodni: do VII wieku p.n.e. dorobek intelektualny mieszkańców Europy pozostawał w cieniu kultury Babilonu, Egiptu i Fenicji. I nagle szóste stulecie przynosi ożywienie oraz tak gwałtowny rozwój kultury i nauki, że niektórzy publicyści (np. Däniken) twierdzą – trudno powiedzieć, czy sami w to wierzą – że nie byłoby to możliwe bez interwencji Przybyszów z Kosmosu.

Jeśli chodzi o Grecję, sprawa ma racjonalne wytłumaczenie: wskutek migracji ludów mieszkańcy Półwyspu Peloponeskiego zapoznają się bliżej z kulturą krajów ościennych (np. litery fenickie przenikają do Grecji i udoskonalają alfabet), a sami z kolei zaczynają kolonizować basen Morza Śródziemnego. To są zawsze bardzo korzystne warunki do rozwoju nauki: samodzielność połączona z kontaktami ze światem. Bez samodzielności skazujemy się na los republik bananowych Ameryki Środkowej, bez kontaktów – na Koreę Północną.

Liczby mają znaczenie

VI wiek p.n.e. był szczególnym stuleciem w historii ludzkości. Nie znając się, ani chyba nie słysząc o sobie wzajemnie, nauczali wtedy trzej wielcy myśliciele: Budda, Konfucjusz i Pitagoras. Dwaj pierwsi stworzyli żywe do dziś religie i systemy filozoficzne. Czyżby rola trzeciego z nich ograniczała się do odkrycia pewnej szczególnej własności pewnego szczególnego trójkąta?

Tales

Na przełomie VII i VI wieku (ok. 624 – ok. 546 p.n.e), w Milecie w dzisiejszej Azji Mniejszej, żył Tales. Niektóre źródła podają, że był uczonym, inne, że bogatym kupcem, a jeszcze inni nazywają go przedsiębiorcą (podobno któregoś roku wykupił wszystkie prasy do oliwy i wypożyczał je potem za lichwiarską opłatą). Niektórzy, zgodnie z obecną modą i modelem uprawiania nauki, widzą go z kolei jako sponsora: pono zapraszał mędrców, dawał im wikt i opierunek, po czym mówił: „no, to pracujcie na chwałę moją i całej Nauki”. Wiele poważnych źródeł skłania się jednak do twierdzenia, że Tales, taki z krwi i kości, w ogóle nie istniał, a jego imię posłużyło tylko jako personifi kacja określonych idei. Jak było, tak było i pewnie się już tego nie dowiemy. Historyk matematyki E.D. Smith napisał, że gdyby nie było Talesa, nie byłoby też Pitagorasa, ani nikogo takiego jak Pitagoras – a bez Pitagorasa nie byłoby Platona, ani nikogo takiego jak Platon. Bardzo możliwe. Zostawmy jednak na boku rozważania, co by było, gdyby.

Pitagoras (ok. 572 – ok. 497 p.n.e.) nauczał w Krotonie na południu Italii i tam właśnie zrodził się ruch intelektualny, który wziął nazwę od nazwiska mistrza: pitagoreizm. Był to ruch i związek etyczno- religijny, oparty – jak byśmy to dziś określili – na misteriach i tajnych naukach, który jako jeden ze środków oczyszczenia duszy uważał zajmowanie się nauką. Za życia jednego czy dwóch pokoleń pitagoreizm przeszedł zwykłe fazy rozwoju idei: początkowy wzrost i ekspansję, kryzys oraz zanik. Naprawdę wielkie idee nie kończą jednak na tym swojego życia i nigdy nie zamierają na zawsze. Doktryna intelektualna Pitagorasa (on sam wymyślił termin, jakim się określał: fi lozof, czyli przyjaciel mądrości) i jego uczniów dominowała przez całą Starożytność, potem powróciła w Odrodzeniu (pod nazwą panteizmu), a właściwie to jesteśmy pod jej wpływem do dzisiaj. Zasady pitagoreizmu tak mocno wrosły bowiem w kulturę (przynajmniej europejską), że z trudem uświadamiamy sobie, iż moglibyśmy myśleć inaczej. Dziwimy się wręcz temu tak, jak molierowski pan Jourdain, który dowiedział się ze zdumieniem, że przez całe życie mówił prozą.

Naczelną ideą pitagoreizmu było przekonanie, że świat jest urządzony według ścisłego planu i harmonii, a powołaniem człowieka jest poznać tę harmonię. I właśnie medytacja nad harmonią świata stanowi doktrynę pitagoreizmu. Pitagorejczycy byli na pewno i mistykami, i matematykami, choć dopiero dzisiaj łatwo tak beztrosko ich klasyfikować. Oni przetarli drogę. Zaczęli swoje badania naukowe nad harmonią świata, zgłębiając najpierw muzykę, astronomię, arytmetykę i geometrię.

Choć magii liczb ludzkość ulegała „od zawsze”, to dopiero szkoła pitagorejska podniosła ją do ogólnie obowiązującego prawa. „Liczby rządzą światem” – to hasło było najlepszą charakterystyką szkoły. Liczby miały duszę. Każda coś znaczyła, coś symbolizowała, w każdej odbijała się cząstka owej harmonii Wszechświata, czyli po grecku Kosmosu. Samo słowo „kosmos” znaczy właśnie „ład, porządek” (Czytelniczki wiedzą, że kosmetyki wygładzają twarz i poprawiają urodę).

Różne źródła podają różne znaczenia, jakie pitagorejczycy nadawali poszczególnym liczbom. Zresztą, ta sama liczba mogła symbolizować kilka pojęć. Najważniejsze były szóstka (liczba doskonała) i dziesiątka – suma kolejnych liczb 1+2+3+4, złożona z innych liczb, których symboliczność dotrwała do dzisiaj.

Pitagoras nauczał więc, że liczby są początkiem i źródłem wszystkiego, że – beletryzując – one tam się gdzieś „kotłują” między sobą, a my widzimy tylko skutki tego, co wyczyniają. Stworzona, czy raczej rozwinięta, przez Pitagorasa mistyka liczb nie ma dziś „dobrej prasy” i nawet poważni autorzy dopatrują się tu mieszaniny „patosu i absurdu” czy też „nauki, mistyki i zwykłego naciągania”. Trudno zrozumieć, jak znany historyk Aleksander Krawczuk mógł napisać, że Pitagoras i jego uczniowie napełnili filozofię widziadłami, mitami, zabobonami – zupełnie jakby nic nie rozumiał. Bo to tylko tak wygląda z perspektywy naszego XXI wieku. Pitagorejczycy nic nie naciągali, tworzyli swoje teorie w najzupełniej dobrej wierze. Może za ileś tam wieków ktoś napisze, że cała teoria względności też była absurdem, patosem i naciąganiem. A symbolika liczbowa przez dzielące nas od Pitagorasa ćwierć miriady lat wniknęła głęboko w kulturę i stała się jej częścią taką samą, jak mity greckie i germańskie, eposy rycerskie Średniowiecza, rosyjskie bajki ludowe o Kościeju czy wizja Juliusza Słowackiego o Słowiańskim Papieżu.

Zastanawiająca niewymierność

W geometrii pitagorejczycy zadziwili się figurami podobnymi. I właśnie przy analizie twierdzenia Talesa, podstawowego prawa dotyczącego reguł podobieństwa, nastąpiła katastrofa. Odkryto odcinki niewspółmierne, a co za tym idzie, liczby niewymierne. Odcinki, które nie dają się zmierzyć żadną wspólną miarą. Liczby, które nie są proporcjami. I to odkryto w jednej z najprostszych figur: w kwadracie.

Dziś, w nauce szkolnej przemykamy obok tego faktu, prawie go nie zauważając. Przekątna kwadratu ma długość √2 ? Świetnie, ile to może być równe? Wciskamy dwa przyciski kalkulatora: 1,4142... OK, już wiemy co to jest pierwiastek z dwóch. Że co? Że niewymierne? To pewnie dlatego, że używamy takiego dziwnego znaku, ale to przecież naprawdę jest 1,4142. Przecież kalkulator nie kłamie.

Jeśli Czytelnik myśli, że przesadzam, to… bardzo dobrze. Widocznie w polskich szkołach nie jest jeszcze tak źle, jak np. w brytyjskich, gdzie tę całą niewymierność włożono gdzieś między bajki.

Po polsku słowo „niewymierny” nie jest zresztą tak straszne, jak jego odpowiednik w innych językach europejskich. Liczby wymierne są tam rational(ang.), rationnel, razional, czyli racjonalne, rozsądne, (ang.), rationnel, razional, czyli racjonalne, rozsądne, zaś niewymierne nazywają się irrational, irrationelles, czyli nieracjonalne, a więc nonsensowne, jakieś wydumane...

Przyjrzyjmy się rozumowaniu, że √2 jest liczbą niewymierną, to znaczy, że nie jest żadnym ułamkiem p/q , gdzie p i q są liczbami całkowitymi. We współczesnym ujęciu idzie ono tak… Załóżmy, że √2 =p/q i że ułamka tego nie da się już skrócić. W szczególności obie liczby p i q nie są parzyste. Podnieśmy do kwadratu: 2q2=p2. Liczba p nie może być nieparzysta, bo wtedy p2 też by była, a po lewej stronie równości stoi wielokrotność 2. A więc p jest parzysta, czyli p=2r, a więc p2=4r2. Skróćmy równanie 2q2=4r2. Otrzymamy q2=2r2 i widzimy, że q musi być też parzysta, a przyjęliśmy, że tak nie jest. Otrzymana sprzeczność kończy dowód – w każdej książce matematycznej można tę formułę znaleźć co chwila. To dowód nie wprost – ulubiona metoda sofistów.

Jak podkreślam, jest to jednak współczesne rozumowanie – pitagorejczycy nie mieli tak rozwiniętego aparatu algebraicznego. Szukali wspólnej miary boku kwadratu i jego przekątnej, co doprowadziło ich do przekonania, że takiej wspólnej miary być nie może. Założenie jej istnienia prowadzi do sprzeczności. Usunął im się spod nóg twardy grunt. Wszystko powinno było dać się opisać liczbami, a przekątna kwadratu, którą każdy może narysować sobie patykiem na piasku, nie ma żadnej (to znaczy wymiernej, bo przecież innych liczb nie ma) długości. „Daremna była nasza wiara” zdają się mówić pitagorejczycy. Co robić?

Próbowano ratować się metodami sekciarskimi. Każdy, kto by ośmielił się wyjawić istnienie liczb niewymiernych, będzie ukarany śmiercią i podobno sam mistrz – nie patrząc na przykazanie łagodności – wykonuje pierwszy wyrok. Potem wszystko zasnuwa się kurtyną. Według jednej z wersji pitagorejczycy zostają wymordowani (ratuje się kilku i dzięki nim cała idea nie zostaje złożona do grobu), według innej sami uczniowie, tak dotychczas posłuszni, wypędzają uwielbianego mistrza i kończy on życie gdzieś na wygnaniu. Sekta przestaje istnieć.

Pitagors

Wszyscy znamy powiedzenie Winstona Churchilla: „Nigdy w historii ludzkich konfliktów tak wielu nie zawdzięczało tak dużo tak nielicznym”. Chodziło o pilotów, którzy obronili Anglię przed lotnictwem niemieckim w 1940 r. Jeśli zmienimy „ludzkie konflikty” na „ludzkie myśli”, to powiedzenie stosuje się do garstki pitagorejczyków, która się uratowała (tak nieliczni) z pogromu w końcu VI w. przed Chrystusem.

Tak więc „myśl uszła cało”. Co się dzieje dalej? Nadchodzi złoty wiek. Grecy zwyciężają Persów (Maraton - 490 p.n.e., Plateje - 479). Krzepnie demokracja. Powstają nowe ośrodki myśli filozoficznej, nowe szkoły. Wyznawców pitagoreizmu dzieli trudność związana z liczbami niewymiernymi. Jedni mówią: „tej tajemnicy nie zgłębimy; możemy ją tylko kontemplować i zachwycać się Niezbadanym”. Drudzy są bardziej pragmatyczni i nie czują respektu przed Tajemnicą: „Skoro z tymi liczbami jest coś nie tak, to zostawmy je w spokoju, za jakieś 2500 lat już wszystko będzie wiadomo. Może to nie liczby rządzą światem? Weźmy się za geometrię. Już nie liczby są ważne, a ich proporcje, stosunki”.

Zwolennicy pierwszego kierunku są znani historykom matematyki jako akuzmatycy, Przetrwali jeszcze kilka wieków i na tym się skończyło. Ci drudzy nazwali siebie matematykami (od greckiego mathein = wiedzieć, uczyć się). Nie musimy nikomu wyjaśniać, że właśnie to podejście wygrało: przetrwało w dobrej kondycji dwadzieścia pięć stuleci i ma się dobrze.

Zwycięstwo matematyków nad akuzmatykami wyraziło się m.in. w powstaniu nowego symbolu pitagorejczyków: był nim od tej pory pentagram (pentás = piątka, grámma = litera, napis) – pięciokąt foremny w kształcie gwiazdy. Jej ramiona przecinają się w sposób nadzwyczaj proporcjonalny: zawsze całość ma się tak do części większej, jak większa do mniejszej. To nazwano boską proporcją, zlaicyzowaną następnie na złotą. Starożytni Grecy (a za nimi cały europocentryczny świat) uważali, że taka właśnie proporcja jest najprzyjemniejsza dla ludzkiego oka i znajdowali ją praktycznie wszędzie.

P i e ś ń a p r a k t y c z n o ś ć – jedno, zaręczone

Jak mąż i dziewka w obliczu wieczności. (...)

Niejeden szlachcic widział A p o l l i n a

I Skopasową Milejską W e n e r ę,

A wyprowadzić nie umie komina,

w ogrodzie krzywo zakreśla kwaterę;

– Budując spichlerz, często zapomina,

Że u ż y t e c z n e nigdy nie jest samo,

Że p i ę k n e – wchodzi nie pytając bramą!

(Cyprian Kamil Norwid, „Promethidion”)

Zakończę jeszcze jednym fragmentem, tym razem z poematu „Faust” (w przekładzie Władysława Augusta Kościelskiego). Otóż pentagram to także wyobrażenie pięciu zmysłów i słynna „stopa czarownika”. W poemacie Goethego doktor Faust chciał się zabezpieczyć przed diabłem przez narysowanie tego symbolu na progu swojego domu. Zrobił to niestarannie i oto, co się stało:

F a u s t
Moc pentagramu cię urzekła?
Ej! Powiedzże mi, synu piekła,
Jakżeś tu wszedł, jeśli cię to pętało?
Czyżby tak łatwo duch taki się zmylił?

M e f i s t o f e l e s
Patrz, znak nieściśle narysowany;
Ten kąt zewnętrzny się odchylił;
Jak widzisz, nieco jest otwarty.

F a u s t
Traf płata czasem niezłe żarty.
Na więźnia byłbyś mi oddany?

I tyle o pięciokącie foremnym, na początku nowego roku szkolnego.