List do studenta

„Quinque sacre claves dicuntur stare sophie; Prima frequens studium, fi nem nescitque legendi. Altera: que relegis memori commitere menti. Tertia: que nescis percrebra rogatio rerum. Quarta est verus honor sincero corde magistri. Quinta iubet vanas mundi contemprere gazas.” Mateusz z Vendôme

Mówią o istnieniu pięciu rzeczy do świętej mądrości; Pierwsza to częsta nauka nie znająca końca czytania. Druga: to, co powtórnie przeczytane, powierzaj rozumowi obdarzonemu pamięcią. Trzecia: bardzo często pytaj o rzeczy, których nie wiesz. Czwarta to prawdziwy i szczery szacunek dla mistrza. Piąta zaleca, by mieć w pogardzie próżne skarby świata.

tłum. Andrzej Borowski

Jeśli ktoś czytuje „Młodego Technika” w środku wakacji, to… polecam tekst lżejszy, bez wzorów i… bez matematyki w ogóle. Może dobry do dyskusji w jakiś zimny dzień, kiedy nie chce się wyjść z domu, ani na plażę, ani nad jezioro, ani w góry…? Jest to tylko lekko zmieniony autentyczny list, jaki napisałem do studenta Wyższej Szkoły XY w mieście Z. Ów student skarżył się, że z kolejnego kolokwium otrzymał zero punktów i że jego globalny wynik to 0 na 50. Student jest sympatyczny, rzeczowy, nie wykazuje postawy roszczeniowej. Do dziekana posłałem kopię listu… i po wakacjach mamy dyskutować, co zmienić, żeby w naszej szkole było lepiej.

Drogi studencie! Dobrze, że na ostatnich zajęciach doszło do dyskusji, zarówno merytorycznej na temat przerabianego materiału, jak i ogólnej, o uczeniu się, rozumieniu, wymaganiach egzaminacyjnych itd. To zawsze daje do myślenia wykładowcy. Przedstawię swój punkt widzenia. Jedynym moim celem jest skłonienie Pana do innego spojrzenia na swoją naukę – tak, by otrzymał Pan uczciwie stopień dostateczny. Jestem „belfrem” od 40 lat i zależy mi na efektach swojej pracy. Zapraszam na rozmowę, konsultacje, pomoc itd.

Po pierwsze, otrzymał Pan zero punktów na 18 możliwych do zdobycia. Przyzna Pan, że to… niewiele. Ale nie zainteresował się Pan poprawą swojej pracy, moim naniesionym na czerwono komentarzem – w którym starałem się wyjaśnić szczegóły. Powiedział Pan, że to nie ma znaczenia, chyba wyrzucił Pan pracę. Otóż – uczymy się na błędach. Nie chcę nawet Pana podejrzewać o takie podejście do przedmiotów matematycznych w naszej szkole, jakie studenci mojego pokolenia mieli do wszelkich zajęć z filozofii (marksistowskiej), ekonomii (księżycowego ustroju gospodarczego) itp. Nie będę rozwijał tego tematu, zakładam, że zależy Panu na nauczeniu się czegoś. Z kolei my, wykładowcy, musimy dbać o jakość kształcenia, o poziom naszych absolwentów.

Po drugie – przy zadaniu nr 2 argumentował Pan, że mając fotograficzną pamięć, przepisał Pan notatki z wykładu i nie rozumie Pan, dlaczego oceniłem zadanie na zero. Hm, załóżmy, że w to wierzę. Czy jednak naprawdę Pan nie rozumie? Notatki są tylko skrótowym zapisem tego, co się powie. Obliczenia w matematyce są oczywiście istotne, ale czasami ważny jest ich opis, a nie tylko ciąg formuł. Więcej, w zadaniu nr 2 najważniejszą sprawą był właśnie opis rozumowania. Obliczenia są na ogół tak proste, że można by je pomijać. Zaryzykuję takie porównanie: zachował się Pan tak, jakby nie umiejąc jeździć na rowerze, wsiadł Pan… i próbował jechać, argumentując, że to musi być łatwe, bo po jadących nie widać specjalnego wysiłku. Czy w szkole przyzwyczajono Pana do tego, że liczy się tylko to, co nauczyciel zapisał na tablicy, a słowa są nieważne? Jeśli tak, to może Pan mieć pretensje do nauczycieli, do sposobu nauczania w szkole, że matematyka to tylko ciąg formuł. Jeśli tak Pana nauczono, to zrobiono Panu krzywdę.

Po trzecie. Jedno z zadań polegało na udowodnieniu pewnej równości, nazwijmy to umownie: L = P. Pan pomylił się w obliczeniach i wyszło Panu, że L nie jest równe P… i założył Pan, że to ja się pomyliłem lub celowo dałem zadanie, mające oszukać studentów. To jest kuriozalne!!!! Czy naprawdę nie zaczął Pan myśleć: a może jednak w tych obliczeniach jest błąd? Trudno mi zrozumieć takie postępowanie i sądzę, że Pan się z tym zgodzi. W Pańskim konkretnym przypadku: odkrycie błędu zajęłoby kilka minut… i zadanie byłoby ocenione na max, nie na zero! Nie jestem zdziwiony taką postawą – oto wręcz jej „kliniczny” przykład. Pewna moja studentka obliczała odległości na Ziemi. Jest taki wzór, który uwzględnia krzywiznę. We wzorze jest dużo trygonometrii – sinusy i kosinusy różnych kątów. Otóż studentce tej wyszło z obliczeń, że biegun północny jest 140 km od Warszawy, a więc koło Płońska. „Tak, ja wiem, że to tak nie jest, ale mi tak wyszło z obliczeń, więc zadanie jest dobrze rozwiązane, proszę mi postawić maksa”. Przyznam się, że zgłupiałem i sam zacząłem wierzyć, że to prawda. Każdy nauczyciel potwierdzi, że stosunkowo często spotyka się taką właśnie postawę uczniów: obliczenia matematyczne to jakaś teoria, niepasująca w ogóle do życia. Szczególnie widać to przy rachunku prawdopodobieństwa i zadaniach na wyciąganie kul z urny. Jest to nie tylko kryzys nauczania matematyki. Jest to kryzys szkoły. Moja własna córka, ucząca angielskiego, usłyszała raz od ucznia, któremu musiała postawić jedynkę, a któremu starała się wytłumaczyć, że znajomość języków obcych jest bardzo ważna: „Phi, jak się będę chciał nauczyć, to pójdę sobie na kurs”.

Po czwarte. Pokazał Pan zadanie (z zeszłorocznego egzaminu) i skomentował ostro „ja nic z tego nie rozumiem i w życiu nie zrozumiem.” Proszę Pana, kilka lat temu na Uniwersytecie Jagiellońskim egzaminowałem studenta ze znajomości pewnego artykułu. Był to wykład habilitacyjny Bernharda Riemanna, z 1854 r. Uważamy, że ten wykład zrewolucjonizował podejście matematyków do geometrii wielowymiarowej. Ostrzegałem, że tekst jest trudny, napisany w dziewiętnastowiecznym stylu, ale że będę z tego pytał. „Panie profesorze, ja czytałem ten tekst dwa razy i nie rozumiem”, pożalił się student. Odpowiedziałem: „Drogi studencie, ja swego czasu zacząłem coś z tego rozumieć za siódmym razem!” Wracając do Pańskiej sytuacji – być może ulega Pan ogólnemu zwyczajowi: nie staram się zrozumieć, nie wnikam w treść, nie doczytuję do końca… A przecież powinno być tak: jeśli nie rozumiem, to może… jeszcze raz przeczytam i tym razem zrozumiem? Szkoła i wymogi egzaminu maturalnego wręcz oduczają takiego myślenia. Co więcej, obserwowany w życiu społecznym brak szacunku dla słowa sprzyja takiej postawie. A to jest przecież życie: nie wszystko od razu pojmujemy. Tego też musimy Państwa nauczyć: sposobu radzenia sobie z problemem intelektualnym! To jest naprawdę najważniejsze. Czy w szkole nauczyli Pana: jeśli nie rozumiesz od razu, to znaczy, że tekst jest głupi? Jeśli tak, to zrobiono Panu kolejną krzywdę. Trudno, narażę się wielu kolegom i koleżankom, uczącym w liceach dobrze, z zapałem i zaangażowaniem. Ale oni sami potwierdzą, że bardzo wielu uczniów rozwiązuje zadania matematyczne w następujący sposób: przeczytaj pierwsze zdanie z zadania – nie czytaj do końca. Liczby, które z pewnością występują w treści, podstaw do byle jakiego wzoru – najlepiej pierwszego, jaki Ci przyjdzie do głowy. Nieważne, czy ma on coś wspólnego z treścią zadania. Następnie wykonuj jakieś obliczenia, nie zwracaj uwagi na błędy rachunkowe. Gdy otrzymasz jakąś prosto wyglądającą odpowiedź, uznaj ją za wynik końcowy. Nie zwracaj uwagi, że odpowiedź wyda ci się bezsensowna. Nie sprawdzaj obliczeń!

Po piąte. Powiedział Pan, że nawet, jeżeli Pan wie, o co chodzi i umie, to nie umie Pan tego opisać. I to jest sedno sprawy!!!!! Jednym z celów zajęć z matematyki jest również to – umiejętność opisania własnego rozumowania. Podkreślam to na każdym wykładzie: jak to ładnie opisać. Nie bez znaczenia dla ogólnej oceny Pańskiej pracy jest to, że pisze Pan zawsze na granicy czytelności (waląc wprost: bazgrze Pan, bez szacunku dla tych, co będą czytać) – nawet własne nazwisko. Argument, że taki ma Pan charakter pisma, odbijam: „jeśli tak, to proszę go zmienić”. Nawet w dobie powszechnego pisania przy pomocy komputera ma to znaczenie.

Po szóste. Zadania konstruuję tak, by sprawdzały one nie tylko umiejętność skopiowania uprzednio gdzieś rozwiązanego zadania, a testowały rozumienie przerabianego materiału. Czy tego oto uczono w szkole: po otrzymaniu zadania zastanów się, pod jaki schemat ono podpada i zastosuj ten schemat? Jeśli tak, to znów powiem, że Pana źle uczono. Zaobserwowałem to wielokrotnie: uważacie Państwo, że zadania egzaminacyjne będą dosłowną kopią zadań z ćwiczeń. Szkoła (nawet liceum) przyzwyczaja do egzaminów typu „odtwórczego”: pokaż na egzaminie dokładnie to, czego nauczyłeś się wczoraj w domu. Nie jest ważne, czy umiesz zrobić stół, tylko czy dobrze trzymasz młotek i gwoździe. W szkołach wyższych (jak i w życiu) egzaminy polegają na czymś innym: zastosuj to, czego się nauczyłeś. Nie będzie zadań typowych! Dobre jest porównanie sportowe: egzamin nie jest jeszcze jednym treningiem przed zawodami. Egzamin to mecz. Kilka lat temu młody człowiek, którego nazwiska nie pamiętam (pochodził z Pomorza), pobił rekord Guinessa w podbijaniu piłki nogą i głową. Nie pamiętam wyniku, było to dobrych kilka godzin. Piłka ani razu nie upadła na ziemię. Reporter zapytał go, czy myśli, że jest lepszy od Messiego. Młody człowiek był skromny i nie widział się aż tak wysoko. Ale wszyscy rozumieli, że w prawdziwym meczu te jego umiejętności prawdopodobnie nie przydałyby się na nic. Dlaczego nie rozumie tego Pan (i pańscy koledzy) w odniesieniu do matematyki i w ogóle do uczenia się? Najwyższy czas odrzucić te szkolne nawyki! Nie spotka Pan już nigdy w życiu sprawdzianu, który będzie polegał na „podstawieniu do znanego wzoru”. Ani w matematyce, ani w życiu. Łatwe zadania pożegnał Pan wraz z pożegnaniem się z misiem przedszkolnym! Pana pokolenie różni się tym od… pokolenia moich dziadków (nawet nie rodziców). Musimy się uczyć tak, by… móc się dalej uczyć. Mój dziadek był szewcem – zresztą bardzo dobrym – i nie musiał się dokształcać; w jego zawodzie nic się nie zmieniło przez całe jego życie. Matematyka, której mnie uczono na studiach – to obecnie przeżytek i staroć, kilka razy musiałem się mocno dokształcać. Tak będzie, drogi studencie. Zazdroszczę Wam, młodym, tego!!!!! „Studiować” to znaczy „badać”. Wychowany jestem na poglądzie, że student zdobywa wiedzę samodzielnie. Profesor mu tylko w tym pomaga. Dziwię się, że to się zmienia, że uniwersytety degradują się do szkółek. To tak, jakby instruktor wspinaczki po prostu wciągał delikwenta na linie, albo – co jest bardziej trafnym porównaniem – legitymację skoczka spadochronowego uzyskiwałoby się po jednym skoku na plecach instruktora.

Po siódme. Użyłem przed chwilą sformułowania „dalsze obliczenia są proste”. Są proste. Ale dla kogoś, kto je… opanował. Nie tylko w matematyce, aby rozwiązać pewien problem, trzeba zastosować poprzednio nabyte umiejętności. Być może szkoła przyzwyczaiła Pana do tego, że każde zadanie jest samodzielne i nie wiąże się z innymi. Jeśli tak, to może Pan mieć uzasadnione pretensje do szkoły. Podam jeszcze jeden przykład, dość istotny. Nie, nawet dwa. Na zajęciach z algebry mówiłem wielokrotnie, że najważniejsze są zadania o wartościach i wektorach własnych – w nich bowiem jest „wszystko”, co studenci poznawali przez cały semestr. Nie można rozwiązać zadania o wektorach własnych ot tak sobie, bez znajomości całego materiału. Prawie nikt nie wziął sobie tego do serca. Podobnie w tym semestrze: najważniejsze będą relacje porządkujące.

Po ósme. Pytał Pan, skąd się można tego wszystkiego nauczyć. Przypomnę swoją odpowiedź: od początku semestru poinformowałem Państwa, że stosowne – specjalnie dla Państwa napisane – materiały są w Internecie. Jestem, niestety, do tego przyzwyczajony: do tego, że nie chodzicie Państwo na zajęcia i nie słuchacie Państwo tego, co mówię. Jak Pan sądzi, ile wyniesie z wykładu kolega, który natychmiast po rozpoczęciu zajęć wkłada słuchawki, wyciąga komputer i…? Nie wiem, może ogląda filmy porno? Jego sprawa. Jesteśmy w szkole wyższej. Płaci… to może robić, co zechce. W szkole publicznej usunąłbym go z sali za marnowanie pieniędzy publicznych.

Po dziewiąte. Od wielu lat obserwuję, jak bardzo… nie potraficie się uczyć. Od kilku lat poświęcam jeden wykład na ten temat: jak uczyć się matematyki. Groch o ścianę. Egzamin był w środę. Na dodatkowych zajęciach w poniedziałek omówiłem przesłane poprzednio zadania przygotowawcze. Na zajęciach we wtorek omówiłem nieco inne zadania, które – jak powiedziałem – będą na egzaminie. Dodałem, że w szczególności proszę zwrócić uwagę na twierdzenie Dilwortha. Zadanie na ten temat będzie bardzo wysoko punktowane. Efekt? Prawie nikt tego zadania nie zrobił. Czy mam zakładać, że są Państwo zainteresowani otrzymaniem oceny niedostatecznej? Powiedział Pan, że matematyka to tylko obliczenia i to Pan wyniósł ze szkoły. Na Pana miejscu pozwałbym do sądu szkołę, no, może tylko nauczyciela matematyki. No, może lekko przesadzam. Ale czy naprawdę Pan w to wierzy? Obawiam się, że tak. Mój dobry znajomy, mocno zaangażowany w prace Centralnej Komisji Egzaminacyjnej, otwarcie stoi na takim stanowisku: niech uczniowie nie próbują zrozumieć, o co chodzi w rachunku prawdopodobieństwa. Oni mają umieć tylko obliczać.

Po dziesiąte i ostatnie. To też chyba wyniesione ze szkoły, jakaś apoteoza bylejakości, opakowanej w kolorowy papier. To jedno z najbardziej poważnych zagrożeń dla… cywilizacji europejskiej. Ale też zbyt poważny temat na naszą rozmowę… Jest Pan studentem. Zakładam, że wybór kierunku był świadomy. Jeśli nie – proszę uciekać, bo będzie się Pan przez lata męczyć, najpierw na studiach, a potem w niechcianym zawodzie. To jest naprawdę koszmar; pieniądze, które Pan zarobi, pójdą na poradnie psychologiczne, a i tak będzie Pan do końca życia nieszczęśliwy. Być może traktuje Pan matematykę jako coś niepotrzebnego informatykowi. Z tym nawet nie będę dyskutować. Zakładam, że chce Pan się uczyć. Nie ma nic zdrożnego w tym, że chcemy osiągnąć swój cel, wkładając w to jak najmniej wysiłku. Tyle, że co jest celem? Sam dyplom, czy dyplom, powiązany z umiejętnościami, mogącymi stać się odskocznią do dalszej kariery? Czy warto przejść przez studia, będąc stale na granicy, stale na „trzy z minusem”, narażonym ciągle na niezbyt pochlebne komentarze?

Bijemy (my, nauczyciele różnych szczebli) na alarm. Wszędzie promowana jest kolorowa bylejakość. Nawet rozumiemy młodzież studencką. Wciąż w naszym kraju nie liczy się jakość dyplomu, wciąż liczne Wyższe Szkoły Tego i Owego dają dyplomy za nic (a raczej: za czesne, jakie student wnosi). Może jednak tak ma być? Od czasu do czasu trzeba przewietrzyć całą ludzką wiedzę. Ja nie umiałem w szkole posługiwać się komputerem, bo… nie było jeszcze tego słowa. Na zainstalowanie telefonu w mieszkaniu czekałem siedemnaście lat. List do USA szedł trzy tygodnie. Mój ojciec opowiadał, jak nauczyciel fizyki w jego szkole pokazywał pierwsze w miasteczku radio. I tak dalej, i tak dalej.

Rozwój matematyki przyspieszył gwałtownie pod koniec XIX wieku, następna akceleracja to lata siedemdziesiąte XX wieku, ale właściwie do dziś ekspansja jest bardzo szybka. Wszyscy jednak oczekują jakiegoś zwolnienia, załamania, kryzysu. Nastąpi wtedy sto lat „konsumpcji” matematyki.

Filozofowie powiadają czasem, że cała ich dyscyplina to tylko dodatki do Platona. Również w dziedzinie edukacji – to znaczy uczenia się – niewiele zmieniło się od czasów Arystotelesa. Oburzą się na to zastępy Docentów i Profesorów Pedagogiki. „Przecież nasza nauka się nieustannie rozwija”. Tak. Piszecie dodatki do Arystotelesa. Na przykład gdzieś między moim pokoleniem a pokoleniem moich dzieci przeprowadzona jest „granica internetowa”. Korzystam z Internetu biegle, zachęcam do tego swoich uczniów, ale... czuję się jak Hal Bregg, bohater powieści Stanisława Lema „Powrót z gwiazd” (pisanej w 1960 r.). Wrócił z podróży międzygwiezdnej. Dla niego trwała sześć lat. Na Ziemi, wskutek efektu relatywistycznego, upłynęło w tym czasie sto dwadzieścia siedem. Hal chce więc kupić trochę książek: Socjologia, fizyka. Na pewno masę rzeczy zrobili przez te przeszło sto lat (...). Całe popołudnie spędziłem w księgarni. Nie było w niej książek. Nie drukowano ich już od pół wieku bez mała. A tak się na nie cieszyłem (...) Nic z tego. Nie można już było szperać po półkach, ważyć w ręce tomów, czuć ich ciężar, zapowiadający rozmiar lektury. Księgarnia przypomniała raczej elektronowe laboratorium. Książki to były kryształki z utrwaloną treścią. Czytać je można było przy pomocy optonu. (..) Za dotknięciem pojawiały się kolejne karty tekstu (...) Robot, który mnie obsługiwał, sam był encyklopedią, dzięki temu, że – jak mi powiedział – jest bezpośrednio połączony poprzez elektronowe katalogi z wzornikami wszelkich możliwych dzieł na całej Ziemi. (...) Było to naprawdę wielkie osiągnięcie, a jednak żal mi było książek. Dowiedziawszy się, że istnieją antykwariaty z papierowymi książkami, odszukałem jeden. Rozczarowałem się: pozycji naukowych prawie nie było. Literatura rozrywkowa, trochę dziecięcej, nieco roczników starych pism.

Notabene, artykuł ten pisałem w dniu 45 rocznicy pierwszego lądowania ludzi na Księżycu. Wtedy, przed laty mówiono o szybkim podboju Kosmosu. Było romantycznie. Było, ale się zbyło. Ale to nie na temat, drogi studencie. Proszę przemyśleć moje uwagi. Życzę powodzenia, służę pomocą.

Dziecięca intuicja Pani Małgorzata Makiewicz przysłała mi ciekawy obrazek i wyjaśnienie-zapytanie: „Na ostatniej lekcji dzieci z klasy drugiej narysowały swoją szkołę. Wewnątrz – to, co niesie radość i szczęście. Na zewnątrz to, co najgorsze... Dlaczego matematyka?”

Odpowiadam. Ciekawe, że wśród tego, co niesie radość i szczęście dzieci (dziewczynki? chłopcy?) wymieniły „panie” i „dziewczynki”. A dlaczego angielski i matematyka są na zewnątrz? Może dzieci intuicyjnie czują, co im się najbardziej przyda w życiu dorosłym i chcą to jeszcze odsunąć?

Więcej artykułów z cyklu Matematyka z ludzką twarzą znajdziesz co miesiąc w magazynie Młody Technik.