Uczyć inaczej (ale czy warto?)
Nie będę zanudzać Czytelników dyskusją dydaktyczną na ów temat. W matematyce zawsze się rozwiązywało, rozwiązuje i będzie rozwiązywać zadania. Tego przede wszystkim uczymy naszych uczniów. I słusznie - bo tego wymagamy potem od nich przy egzaminach. Wypełniając im w ten sposób czas, zapominamy jednak o innych, ważnych sprawach. O rozumieniu, czytaniu ze zrozumieniem, analizowaniu i... uważnym patrzeniu. Co rozumiem przez "uważne patrzenie"?
Mogę je określić jako "patrzenie antytelewizyjne". W telewizji pokazują nam obrazek na kilka sekund, zaraz potem drugi, trzeci, czwarty... - ważna jest ich liczba, nieważne, co na nich widać. Tempo, liczy się tempo i zmienność. Nawet na spotkaniach towarzyskich panuje podobna moda na pokazywanie slajdów z wakacji: kilkaset zdjęć w pół godziny.
I oto pierwszy, charakterystyczny przykład. Tego, jak bym chciał nauczać matematyki. Może ktoś spróbuje?
Jak bym chciał nauczać
Rys. 1
"Narysujcie, uczniowie, dowolny czworokąt, wypukły. Połączcie odcinkami środki kolejnych boków. Co widzicie? Tak, Michał ma rację - powstał równoległobok. Czy u każdego pojawił się równoległobok? A czy potraficie udowodnić, że tak zawsze będzie? No, jasne, Agnieszka do tablicy... Masz rację, wystarczy dorysować przekątne czworokąta i wszystko jasne."
Na zwykłych lekcjach byłby to koniec tematu. U mnie początek. Mówię następnie: "Spójrzcie na rysunek (po lewej) i ułóżcie jakieś zadanie, związane z nim. Tak, z tym rysunkiem. Jedno właśnie rozwiązywaliśmy - po połączeniu środków boków powstał równoległobok. Jak to jakie zadanie? Nie rozumiesz - masz ułożyć, stworzyć zadanie."
Z moich doświadczeń wynika, że uczniowie nie wychodzą poza zadania w rodzaju "oblicz pole tego równoległoboku, oblicz obwód" itp. Nie rozumieją też, co nazywam problemem (twierdzeniem) odwrotnym. Wyjaśniam to tak: "Masz dany równoległobok (różowy na rys. 1). Czy możesz dorysować do niego czworokąt tak, by ten równoległobok był równoległobokiem środków? A czy na jeden sposób, czy na więcej? Co mają wspólnego ze sobą te sposoby?"
Staram się pokazywać uczniom to wszystko w ruchu. Nie znam się na Geogebrze, używam innych programów, ale słyszałem - ona wszystko wyrysuje, w animacji. A zatem zadaję uczniom takie zadanie (gdy przerabiam je z nauczycielami, daję dosłownie takie polecenia, jak napisałem niżej - z uczniami staram się być bardziej poważny).
Zachwyty i dziwy
Zadanie na programy Cabri, Geogebra, C.a.R. itp. (uwaga: bez tych programów też większość tych poleceń ma sens).
- Narysować zielony (może być inny zimny kolor) czworokąt.
- Zaznaczyć środki boków.
- Połączyć środki kolejnych boków odcinkami; zaznaczyć otrzymany tak czworokąt ciepłym kolorem.
- Animować rysunek i wznosić okrzyki zachwytu, że czworokąt zmienia kształt, a wewnątrz równoległobok jak był, tak i jest.
- Dorysować przekątne tego równoległoboku i zaznaczyć ich punkt przecięcia.
- Narysować okręgi o środku w punkcie przecięcia przekątnych równoległoboku środków, przechodzące przez przeciwległe wierzchołki.
- Ruszać wierzchołkiem czworokąta i dziwować się w głos, jak się te okręgi zmieniają.
- Postawić problem, kiedy okręgi te się pokryją.
- Umiejscowić cały rysunek na siatce, wybrać dogodne współrzędne.
- Animując całą sytuację (jak w pkt. 4), odgadnąć warunek konieczny i dostateczny na to, by równoległobok środków był prostokątem. A kwadratem? Zapamiętać (zanotować) hipotezę i odłożyć do sprawdzenia w drugiej części zajęć.
- Obejrzeć, co się dzieje, gdy czworokąt wyjściowy degeneruje się do trójkąta. Zaproponować zadania dotyczące tej sytuacji.
Czy spodziewałeś się, Czytelniku, że z tak banalnej własności da się zrobić cały pakiet zagadnień do dyskusji? A to nie koniec. Teraz rzucam pytanie: "Czy potraficie uogólnić tę własność?". Na ogół nikt nic nie wie, więc naprowadzam: "No, to weźmy trójkąt zamiast czworokąta. Jak to będzie w trójkącie? Dobrze, Oliwio, ten mały trójkąt będzie podobny do dużego. Czy wszyscy pamiętają, co to są trójkąty podobne? A w jakiej skali?"
Mówię dalej: "To weźmy pięciokąt..." Po dłuższej chwili wszyscy spostrzegają, że... nic nie widać. Bo teraz jest już trudniej. Biorę sześciokąt, rzucam rysunek:
Rys. 2
Ale tylko licealiści są w stanie zgadnąć kryjące się za tym twierdzenie i nawet uogólnić je na wielokąty o większej liczbie boków. Gdy już wszyscy wydają się zmęczeni tym tak wałkowanym zagadnieniem, przechodzę do arytmetyki: pokazuję kwadrat liczbowy, np. taki:
Rys. 3
Wyjaśniam, że liczby stojące w środkach boków są średnimi arytmetycznymi liczb wierzchołkowych. Przechodzę do bardzo trudnego zagadnienia: "Czy widzicie, że to jest zadanie izomorficzne (tak naprawdę nie używam tego słowa) z poprzednim?" "Jak to, to przecież co innego, tam była geometria, a tu arytmetyka..." - protestują uczniowie, a ja przypomnę, że każdy nauczyciel spotkał się z taką sytuacją: "Nie, nie pszepani, to zupełnie inne zadanie - tamto do domu było o cukierkach, a to na klasówce o czekoladkach!".
Mam zatem temat na dalszą długą dyskusję - przetłumaczyć wszystkie pytania z sytuacji geometrycznej na arytmetyczną, odpowiedzieć na wszystko, a w szczególności: "Czy dla zadanych średnich arytmetycznych można odzyskać wyjściowe liczby? Czy jednoznacznie? Co dla trójkątów, pięciokątów, sześciokątów liczbowych?"
Gdy już wszyscy "mają dość", rzucam następne pytania: "A gdy weźmiemy inne średnie?" Ale nie nalegam i gdy mam do czynienia z licealistami albo nauczycielami, zadaję jeszcze jedno pytanie (i wtedy znowu się ożywiają): "No, to iterujmy postępowanie. Róbmy tak dalej, średnie ze średnich, średnie średnich średnich... Masz rację, Patryku, weźmy komputer. Umiecie już Excela, prawda? No, to proszę, zaprogramujcie taki zagnieżdżający się układ , powiedzmy do dziesiątego piętra, czyli żeby było dziesięć zagnieżdżających się kwadratów. Weźcie jakieś liczby wyjściowe, bawcie się nimi. Obserwujcie tylko wyniki."
No i już gotowy temat na pierwszą pracę naukową, na początek bardzo skromną. Ale, ale... wróćmy znów do geometrii. Co nam wyjdzie, jeżeli będziemy powtarzać naszą konstrukcję, w głąb i w głąb... To zadanie dla Czytelników. A ja zwrócę tylko uwagę na to, że wyszliśmy z łatwego i pozornie nieciekawego zadania... i zobaczyliśmy w nim znacznie więcej. To:
Rys. 4
Zadania otwarte na zmiany
Na przykładzie dwóch zadań powiem, jak można by nauczać inaczej. Przyzwyczajeni jesteśmy do tego, że matematyka to taki ciąg: nauczyciel zadaje zadanie, uczeń rozwiązuje, nauczyciel omawia i... zadaje następne zadanie. Matematyka jako ciąg: zadanie-rozwiązanie- zadanie- rozwiązanie... Czy w ogóle można inaczej?
Można. Ale to sprawa trudna, wymaga innego spojrzenia na proces nauczania. A oto drugie zadanie, otwarte. Wziąłem je z zestawu zadań przygotowawczych do pewnych warsztatów matematycznych o zasięgu europejskim, miało tam numer 8 (http://goo.gl/lsnBm9).
Numerujemy pola szachownicy, rozciągającej się w nieskończoność w górę i w prawo. Zaczynamy numerację od zera. W zerowym wierszu i zerowej kolumnie (to znaczy w lewym dolnym narożniku) stawiamy 0, a następnie w każdym innym polu stawiamy najmniejszą liczbę (nieujemną, całkowitą), która nie pojawia się ani na lewo, ani poniżej tego pola, o tak:
Rys. 5
Jaka liczba będzie stać w kwadracie w wierszu numer 2016 i kolumnie numer 1601? Can you generalize? Zostawiłem, dla uwypuklenia, ostatnie zdanie po angielsku. Znaczy ono: "Czy potrafisz uogólnić?" To nazywam właśnie zadaniem otwartym - nie kończy się na rozwiązaniu. "Czy umiesz uogólnić?"
Stawiałem to i podobne pytania w różnych środowiskach uczniowskich, studenckich i nauczycielskich. Dzieci pytały, co to znaczy. Uczniowie ograniczali się do banalnych pytań i odpowiedzi. A nauczyciele rozumieli oczywiście, o co chodzi, ale oni, najbardziej przyzwyczajeni do zadań zamkniętych, nie byli w stanie zadać ani jednego sensownego pytania, zaproponować rozwinięcia enigmatycznego "uogólnij". Mówię oczywiście o statystycznych danych, a nie o dosłownie wszystkich uczniach, studentach i nauczycielach.
Cenię właśnie takie zadania, które dopuszczają możliwości zmian, interpretacji, uproszczeń i utrudnień, które mają wiele dróg dojścia do rozwiązania, które są dostępne niemal dla każdego, prowadzą w głąb matematyki, której tu nie nazywam "wyższą" a "uniwersytecką".
Najpierw rozwiązanie. Można ułożyć program, generujący kolejne pola. Ponieważ jednak pole, o które chodzi, ma kolejny numer 3227616, więc nieładnie ułożony program może po prostu "nie doliczyć się" do tego miejsca. Mamy zatem alternatywę: udoskonalić program, czy znaleźć ładne rozumowanie, prowadzące do celu. Jedno i drugie jest wartościowe. Ale z komputerem czy bez możemy rozszerzyć podany wzorzec - początek rozwiązania. I teraz już wszystko jasne. Trzeba tylko umiejętnie spojrzeć na otrzymane informacje.
Tablica ma układ blokowy. Bloki są kolejnych rozmiarów 2, 4, 8, 16, 32, ... - są to kolejne potęgi liczby 2. W każdej kolumnie i w każdym wierszu mamy permutację liczb od zera do 15. Na przekątnej mamy zera, nad przekątną jedynki. Na obrzeżach liczby od jedynki do 2n-1, w naszej tabelce od zera do 15. W każdym wierszu i każdej kolumnie mamy interesujące permutacje - ale o tym już nie pomówimy.
Obliczmy, ile bloków potrzeba, by dojść do 2016. Dzielimy 2016 przez 32. Starsze pokolenie potrafi bez kalkulatora. Wychodzi 63. I tu jeszcze jeden powód, dla którego lubię to zadanie i ten typ zadań. To tak, jak wycieczka, gdzie chodzi nie tylko o cel, ale i o ciekawe miejsca, które mija się po drodze. Cóż to jest 32 razy 63, czyli wartość wyrażenia 2n-1(2n-1) dla n=6? Obliczmy wartości tego wyrażenia dla n będących liczbami pierwszymi: n=2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Otrzymamy: 6, 28, 120, 496, 2016, 8128, 32640, 130816, 523776, 2096128. ... a to liczby doskonałe. Tak właśnie szkoła pitagorejska nazwała liczby równe sumie swoich dzielników (nie licząc samej liczby). Przykładowo, 496 dzieli się przez: 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248, 496.
No a suma 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496. Twierdzenie Euklidesa-Eulera powiada, że wzór 2p-1(2p-1) daje wszystkie parzyste liczby doskonałe (p w tym wzorze ma być liczbą pierwszą). Istnienie nieparzystych liczb doskonałych jest nierozwiązanym problemem matematycznym, i to takim z gatunku "beznadziejnych" - na razie nikt nie ma pomysłu, jak się do tego zabrać. Na razie! Przyjdzie w końcu jednak ktoś, kto wymyśli!
Liczba 6 nie jest pierwsza, zatem 2016 nie jest liczbą doskonałą. Ma nawet więcej dzielników niż "potrzeba". Oto lista dzielników liczby 2016: 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 12, 14, 16, 18, 21, 24, 28, 32, 36, 42, 48, 56, 63, 72, 84, 96, 112, 126, 144, 168, 224, 252, 288, 336, 504, 672, 1008 Ich suma to 4536, znacznie więcej niż 2016. Z postaci 2p-1(2p-1) wynika jednak, że 2016 jest liczbą trójkątną: sumą kolejnych liczb od jedynki (albo od zera) do 63: 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... + 59 + 60 + 61 + 62 + 63 = 2016
Przypomina to historyjkę o wynalezieniu szachów. Pisałem o niej wielokrotnie i nie będę się powtarzał. Odsyłam... do Internetu.
Mądrze się rozproszyć
Revenons á nos moutons. To francuskie zdanie znaczy dosłownie "wracajmy do naszych baranów", a prawdziwe znaczenie to mniej więcej: "wróćmy do rzeczy" (polecam zajrzenie do Wikipedii). Powróćmy do naszego zadania. I to lubię w zadaniach pewnego typu - że można się zagubić w dygresjach tak, że na samo zadanie nie wystarcza już ani czasu, ani cierpliwości. Przestaje nas interesować cel. Rozproszyliśmy się, rozmieniliśmy na drobne. Muszę przyznać, że ja to właśnie w zadaniu lubię, chociaż chyba to niepedagogicznie...
Rozpatrzmy bloki rzędu 5, to znaczy tablice 32 na 32. Południowo-wschodnim wierzchołkiem sześćdziesiątego trzeciego bloku jest 2015. Następna kolumna zaczyna się na 2016 i do połowy wysokości maleje aż do 1007. Potem startuje od zera, osiągając wartość 593 na poziomie, o który nam chodzi, to znaczy 1601. Zadanie rozwiązane! Ajaj, nie do końca. A co z pytaniem o uogólnienie? To już niech będzie kwestia do domu, dla Czytelników, na nadchodzące upały.
