Urok odwrotności

Odwrotności występują wszędzie tam, gdzie dwie wielkości są związane ze sobą tak, że jeżeli jedna rośnie, to druga maleje w stosownym tempie. „Stosownym” – znaczy, że iloczyn tych wielkości nie zmienia się. Pamiętamy ze szkoły: to jest odwrotna proporcjonalność. Jeżeli chcę dojechać do celu dwa razy szybciej (czyli obniżyć czas o połowę), muszę podwoić prędkość. Jeżeli zmniejszymy n-krotnie objętość szczelnego naczynia z jakimś gazem, to jego ciśnienie wzrośnie n-krotnie.

W nauczaniu początkowym odróżniamy starannie porównanie różnicowe i porównanie ilorazowe. „O ile więcej”? – „ile razy więcej?”.
Oto kilka szkolnych zadań:
Zadanie 1. Z dwóch wielkości dodatnich pierwsza jest o 5 większa od drugiej i jednocześnie 5 razy większa od pierwszej. Jakie to wielkości?
Zadanie 2. Jeżeli pewna liczba jest większa od drugiej o 3, a druga od trzeciej o 2, to o ile pierwsza jest większa od trzeciej? Jeżeli pierwsza liczba dodatnia jest dwa razy większa niż druga, a ta trzy razy większa niż trzecia, to ile razy pierwsza liczba jest większa od trzeciej?
Zadanie 3. W zadaniu 2. dopuszczamy tylko liczby naturalne. Czy jest możliwy taki układ, jak tam opisany?
Zadanie 4. Z dwóch wielkości dodatnich pierwsza jest o 5 większa od drugiej, a druga jest 5 razy większa od pierwszej. Czy to możliwe?

Pojęcie „średniej”, czy „przeciętnej”, wydaje się bardzo proste. Jeśli na wycieczce rowerowej przejechałem w poniedziałek 55 km, we wtorek 45 km, a w środę 80, to średnio przejeżdżałem 60 km dziennie. Godzimy się z tymi obliczeniami bez zastrzeżeń, choć są trochę dziwne, bo przecież żadnego dnia nie przejechałem właśnie 60 km. Równie łatwo akceptujemy ułamki człowieka: jeżeli przez sześć dni restaurację odwiedziło dwieście osób, to średnia dzienna wynosi 33 i jedna trzecia człowieka. Hm!

Z wielkością średnią są w ogóle same kłopoty. Lubię turystykę rowerową. Skorzystałem więc z oferty biura podróży „Jedź z nami” – dostarczają oni bagaż do hotelu, do którego klient dojeżdża rekreacyjnie rowerem. W piątek jechałem cztery godziny: pierwsze dwie z szybkością 24 km na godzinę. Potem zmęczyłem się tak, że przez następne dwie z szybkością tylko 16 na godzinę. Jaka była moja prędkość przeciętna? Oczywiście, że (24+16)/2 = 20km = 20km/h .

Natomiast w sobotę bagaże zostały w hotelu, a ja pojechałem zobaczyć ruiny zamczyska, odległe o 24 km i po obejrzeniu ich wróciłem. W jedną stronę jechałem równą godzinę, wracałem wolniej, w tempie 16 km na godzinę. Jaka była moja przeciętna szybkość na trasie „hotel – zamek – hotel”? 20 km na godzinę? Oczywiście, że... nie. Przecież przejechałem w sumie 48 km i zajęło mi to godzinę („tam”) i aż półtorej z powrotem. 48 km w dwie i pół godziny to znaczy na godzinę 48/2,5 = 192/10 = 19,2km! W tej sytuacji prędkość przeciętna nie jest średnią arytmetyczną, tylko harmoniczną danych wielkości:

a ten piętrowy wzór można przeczytać tak: średnia harmoniczna liczb dodatnich to odwrotność średniej arytmetycznej ich odwrotności. Odwrotność sumy odwrotności pojawia się w wielu refrenach zadań szkolnych: jeśli jeden robotnik wykopie rów w a godzin, drugi w b godzin, to gdy będą pracować razem, wykopią go w czasie  To samo dotyczy kranów napełniających basen wodą (jeden w a godzin, drugi w b godzin). Jeżeli jeden opornik ma oporność R1, drugi R2, to połączone równolegle mają łącznie oporność 

Jeżeli jeden komputer może rozwiązać zadanie w a sekund, drugi w b sekund, to gdy będą pracować razem...

Stop! Tu analogia się kończy, bo wszystko zależy od szybkości działania sieci: efektywności połączeń. Robotnicy też mogą sobie wzajemnie przeszkadzać lub pomagać. Jeżeli jeden człowiek może wykopać studnię w osiem godzin, to czy osiemdziesięciu robotników zrobi to w 1/10 godziny (czyli 6 minut)? Jeżeli sześciu tragarzy wnosi fortepian na pierwsze piętro w ciągu 6 minut, to ile czasu zajmie jednemu z nich wniesienie fortepianu na sześćdziesiąte piętro? Absurdalność takich zadań każe nam pamiętać o ograniczonej stosowalności wszelkiej matematyki do zadań „z życia”.

O ważącym sprzedawcy 

Wagi szalkowe wyszły już z użycia. Przypomnijmy, że na jednej szalce takiej wagi kładło się odważnik, na drugiej ważony towar i gdy waga była w równowadze, to towar ważył tyle, ile odważnik. Oczywiście obydwa ramiona uczciwej wagi muszą mieć równe długości – inaczej ważenie daje zły wynik.

O, właśnie. Wyobraźmy sobie sprzedawcę, który ma wagę o nierównych ramionach. Chce być jednak uczciwy wobec klientów i waży towar w dwóch ratach. Najpierw stawia odważnik na jednej szalce, a na drugiej stosowną ilość towaru – tak, żeby waga była w równowadze. Potem odważa drugą „połowę” towaru odwrotnie, to jest kładąc odważnik na drugiej szalce a towar na pierwszej. Ponieważ ramiona są nierówne, więc te „połowy” nie są nigdy równe. I sprzedawca ma czyste sumienie, i klienci chwalą jego uczciwość: „co tu odjął, to potem dodał”.

Przyjrzyjmy się jednak dokładniej postępowaniu sprzedawcy, który chce być rzetelny, mimo że ma nierzetelną wagę. Niech ramiona wagi mają długości a i b. Jeżeli na jednej z szalek leży odważnik kilogramowy, a na drugiej x towaru, to waga jest w równowadze, jeżeli ax = b za pierwszym razem i bx = a za drugim. A zatem pierwsza część towaru to b/a kilograma, druga to a/b . Dobra waga ma a = b , co znaczy, że klient otrzyma 2 kg towaru. Popatrzmy, co się dzieje dla a≠b. Wtedy a − b ≠ 0 i ze wzoru skróconego mnożenia mamy

Doszliśmy do zaskakującego wyniku: pozornie uczciwy sposób, polegający na „uśrednieniu” pomiaru, działa w tym wypadku na korzyść klienta, który dostaje więcej towaru.

Zadanie 5. (Ważne, bynajmniej nie z matematyki!). Komar waży 2,5 miligrama, a słoń pięć ton (to są w miarę prawdziwe dane). Oblicz średnią arytmetyczną, geometryczną i harmoniczną masy (ciężaru) komara i słonia. Sprawdź obliczenia i zastanów się, czy mają one jakikolwiek sens poza ćwiczeniem z arytmetyki. Zastanów się nad innymi przykładami obliczeń matematycznych, które nie mają sensu „życiowego”. Wskazówka: jeden przykład już omówiliśmy w tym artykule. Czy to znaczy, że rację miał anonimowy uczeń, którego opinię znalazłem w Internecie: „Matematyka to ogłupianie ludzi za pomocą cyferek”?

Owszem, zgadzam się, że w majestacie matematyki można ludzi „ogłupiać” – w co drugiej reklamie szamponu jest, że zwiększa puszystość o ileś tam procent. Czy poszukamy innych przykładów używanych na co dzień pożytecznych narzędzi, które mogą być użyte do przestępczej działalności?

Gramy!

Tytuł tego fragmentu jest czasownikiem (pierwsza osoba liczby mnogiej), a nie rzeczownikiem (mianownik liczby mnogiej od jednej tysięcznej kilograma). „Harmonia” sugeruje porządek i muzykę. Dla starożytnych Greków muzyka była działem nauki – co prawda mówiąc tak, przenosimy dzisiejsze znaczenie słowa „nauka” do czasów sprzed naszej ery. Pitagoras żył w VI wieku p.n.e. Nie tylko nie znał komputera, telefonu komórkowego i poczty elektronicznej, ale nie wiedział też, kim był Robert Lewandowski, Mieszko I, Karol Wielki i Cycero. Nie znał cyfr arabskich ani nawet rzymskich (weszły one do użycia ok. V wieku p.n.e), nie wiedział, co to wojny punickie… Ale na muzyce się znał…

Wiedział, że na instrumentach strunowych stosunki drgań są odwrotnie proporcjonalne do długości drgających części strun. Wiedział, wiedział – tylko nie potrafił wyrazić tego w ten sposób, jak my dzisiaj.

Częstotliwości dwóch drgań struny, składające się na oktawę, są w stosunku 1:2, to znaczy częstotliwość wyższego dźwięku jest dwa razy wyższa od częstotliwości mniejszego. Odpowiedni stosunek drgań dla kwinty wynosi 2:3, kwarty 3:4, tercji czystej wielkiej 4:5, małej tercji 5:6. To są przyjemne interwały konsonansowe. Potem idą dwa neutralne, o stosunkach drgań 6:7 i 7:8, potem dysonansowe – wielki ton (8:9), mały ton (9:10). Te ułamki (stosunki) są takie, jak ilorazy kolejnych wyrazów ciągu, który matematycy (właśnie dlatego) nazywają szeregiem harmonicznym:

– sumę teoretycznie nieskończoną. Stosunek drgań oktawy można zapisać jako 2:4 i wstawić między nie kwintę: 2:3:4, czyli rozbijamy oktawę na kwintę i kwartę. To w matematyce nazywa się harmonicznym podziałem odcinka:

Rys. 1. Dla muzyka: podział oktawy AB kwintą AC.Dla matematyka: harmoniczny podział odcinka

Co mam na myśli, mówiąc (wyżej) o teoretycznie nieskończonej sumie, np. szeregu harmonicznego? Okazuje się, że suma taka może być dowolnie wielką liczbą, jeżeli tylko sumować będziemy dostatecznie długo. Składniki maleją, ale jest ich coraz więcej. Co przeważy? Wchodzimy tu w obszar analizy matematycznej. Okazuje się, że składniki maleją, ale nie bardzo szybko. Pokażę, że biorąc odpowiednio dużo składników, mogę uczynić sumę:

dowolnie dużą. Weźmy „na przykład” n=1024. Grupujmy wyrazy, jak pokazano:

W każdym nawiasie każdy wyraz jest większy od ostatniego – oczywiście z wyjątkiem ostatniego, który jest równy… sam sobie. W kolejnych nawiasach mamy 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 i 512 składników; wartość sumy w każdym nawiasie z osobna jest większa ½. Całość jest większa od 5½. Dokładniejsze obliczenia wykazałyby, że ta suma jest równa ok. 7,50918. Niewiele, ale zawsze, i widać, że biorąc n dowolnie duże, mogę przekroczyć dowolną liczbę. Ten niesłychanie powolny (np. dziesiątkę przekraczamy dopiero przy składnikach), ale nieskończony wzrost zawsze fascynował matematyków.

Wycieczka do nieskończoności z szeregiem harmonicznym

A oto łamigłówka prowadząca do całkiem poważnej matematyki. Mamy nieograniczony zapas klocków prostokątnych (co ja mówię, prostopadłościennych!) o wymiarach, powiedzmy 4×2×1. Rozpatrzmy układ złożony z kilku (na rys. 2 – czterech) klocków, ustawionych tak, że pierwszy wychylony jest o ½ swojej długości, drugi od góry o ¼ i tak dalej, trzeci o jedną szóstą. No, może dla pewności, żeby naprawdę to było stabilne, wychylmy pierwszy klocek minimalnie mniej. Nie ma to znaczenia dla obliczeń.

Rys. 2. Wyznaczanie środka ciężkości

 

Łatwo też zrozumieć, że skoro figura złożona z pierwszych dwóch klocków (licząc od góry) ma środek symetrii w punkcie B, to B jest środkiem ciężkości. Wyznaczmy geometrycznie środek ciężkości układu złożonego z trzech górnych klocków. Wystarczy tu bardzo proste rozumowanie. Podzielmy myślowo układ trzech klocków na górne dwa i dolny trzeci. Środek ten musi leżeć na odcinku łączącym środki ciężkości tych dwóch części. W którym punkcie tego odcinka?

Są dwie metody wyznaczenia. W pierwszej skorzystamy z obserwacji, że środek ten musi leżeć w połowie wysokości piramidki trójklockowej, czyli na prostej połowiącej drugi, środkowy klocek. W metodzie drugiej uświadomimy sobie, że ponieważ dwa górne klocki mają łączną masę dwa razy większą niż pojedynczy klocek nr 3 (od góry), to środek ciężkości musi znajdować się na tym odcinku dwa razy bliżej od B niż od środka S trzeciego klocka. Następny punkt znajdujemy tak samo: łączymy znaleziony środek trzech klocków ze środkiem S czwartego klocka. Środek całego układu leży na wysokości 2 i w takim punkcie, który dzieli odcinek w stosunku 1 do 3 (czyli znajduje się w ¾ jego długości).

Rachunki, które przeprowadzimy nieco dalej, prowadzą do rezultatu, widocznego na rys. 3. Kolejne środki ciężkości są odległe od prawej krawędzi dolnego klocka o:

A zatem rzut środka ciężkości piramidki zawsze mieści się w obrębie podstawy. Wieża nie przewróci się. Popatrzmy teraz na rys. 3 i na chwilę przyjmijmy za podstawę klocek piąty od góry (ten zaznaczony jaskrawszym kolorem). Górny jest wychylony o:

a zatem jego lewy brzeg jest o 1 24 dalej niż prawy brzeg podstawy. A oto następne wychylenie:

A jakie jest największe wychylenie? Już wiemy! Nie ma największego! Biorąc nawet najmniejsze klocki, można uzyskać i kilometrowy nawis – niestety, tylko matematycznie: całej Ziemi nie starczyłoby na wybudowanie tylu klocków!

Rys. 3. Dokładamy kolejne klocki

Teraz obliczenia, które opuściliśmy wyżej. Wszystkie odległości będziemy obliczać „w poziomie”, wzdłuż osi x, bo o to tylko chodzi. Punkt A (środek ciężkości pierwszego klocka) znajduje się w odległości 1/2 od prawego brzegu. Punkt B (środek układu dwóch klocków) jest w odległości 1/4 od prawego brzegu drugiego klocka. Niech chwilowym punktem odniesienia będzie właśnie koniec drugiego klocka (za chwilę przeniesiemy do trzeciego). Gdzie jest środek ciężkości pojedynczego np. klocka nr 3? W połowie długości tego klocka, a zatem odległy jest od naszego punktu odniesienia o 1/2 + 1/4 = 3/4. Gdzie jest położony punkt C? W dwóch trzecich odcinka między 3/4 a 1/4 , czyli w punkcie do  Zmieniamy punkt odniesienia do prawego brzegu trzeciego klocka. Środek ciężkości układu trzech klocków jest teraz odległy od nowego punktu odniesienia  I tak dalej. Środek ciężkości S_n wieży złożonej z n klocków jest odległy o 1/2n od chwilowego punktu odniesienia, którym jest prawy brzeg klocka stanowiącego podstawę, tj. n-tego klocka od góry.

Ponieważ szereg odwrotności jest rozbieżny, możemy rzeczywiście uzyskać dowolnie wielkie wychylenie. Czy naprawdę dało by się to zrealizować? To tak, jak z nieskończoną wieżą z cegieł – w końcu zawali się pod własnym ciężarem. W naszej konstrukcji minimalne niedokładności przy kładzeniu klocków (oraz powolny wzrost sum częściowych szeregu) sprawia, że „tak naprawdę” nie zajdziemy daleko.