Siłą czy sposobem?

Podczas międzynarodowych badań polscy uczniowie wypadają dobrze w zadaniach typu algorytmicznego: "spójrz na brudne spodnie i wybierz odpowiedni program prania". Gorzej w zadaniach istotnie twórczych. Niemal wszystkie egzaminy polegają teraz na tym, że uczeń (student) ma pokazać to, czego nauczył się w szkole i w domu.

Tu każdy zapyta - jak to, czy może być inaczej? Przecież, u licha, na tym polega egzamin! Sprawdzenie, czego się adept nauczył. No i… właśnie nie, a raczej: nie musi być tak! Różnicę łatwo zrozumiemy na przykładzie ze sportu. Egzaminem dla piłkarza nie jest to, czego nauczył się na treningach, tylko jak to, czego się nauczył, zaprezentuje w meczu. W odniesieniu do matematyki: ja, nauczyciel, zakładam, że ty, uczniu, umiesz to, czego cię uczyłem. Pokaż zatem, jak tę wiedzę zastosujesz!

Pokolenia dydaktyków matematyki zadawały sobie pytanie: czy w szkole uczyć myślenia, czy algorytmów? Odpowiedź była zawsze jedna: myślenia. Praktyka również: w szkole zawsze uczono i uczy się do tej pory przede wszystkim algorytmów.

Zadania, pomysły, metody

Wystarczy tego mądrzenia się; spójrzmy na zadania, które rozwiązać jest o wiele łatwiej, gdy zastosujemy pewien pomysł - niekiedy drobny, niekiedy dość karkołomny. Zadania te pochodzą z odczytów koleżanek i kolegów podczas wspomnianej konferencji. Nie przytaczam nazwisk owych koleżanek i kolegów - przykłady są ogólnie znane. Zacznę od mojego ulubionego działu matematyki szkolnej: równania i funkcje kwadratowe.

Zadanie. Rozwiązać równanie kwadratowe x²+4x-21=0. Wyznaczyć minimum funkcji kwadratowej, widocznej po lewej stronie.

W Europie rozwiązuje się to zadanie, podstawiając do odpowiednich wzorów. W USA za każdym razem dzieci (no tak, bo to są jednak dzieci) sprowadzają je do czegoś, co z kolei u nas nazywa się postacią kanoniczną: x²+4x-21=(x+2)²-25, a stąd już wynika, co chcemy. Trzeba tylko chwilę pomyśleć. Dlaczego wartością najmniejszą tego wyrażenia jest -25? Ano dlatego, że wielkość x+2 podniesiona do kwadratu jest zawsze dodatnia… Z jednym tylko wyjątkiem: dla x = -2 przyjmuje wartość zero…, no a zero nie jest dodatnie!

Zadanie następne ma pewną historię. Otrzymałem je na egzaminie wstępnym na Uniwersytet Warszawski. Kiedy to było? No, dawno temu - idąc na egzamin, spotkałem na Krakowskim Przedmieściu dinozaura… Zadanie było proste: "rozwiąż równanie sin x+cos x=2".

"Ach, to proste - myślałem. Zamienię sinus na cosinus, skorzystam z odpowiedniego wzoru… i coś wyjdzie". Po chwili jednak spostrzegłem, że zadanie jest banalne. Zarówno wartość sinusa, jak i cosinusa nie przekracza nigdy liczby 1, a stąd przecież wynika, że aby suma była równa 2, zarówno sinus, jak i cosinus muszą przyjmować wartość 1, co jest przecież niemożliwe, bo pamiętamy o "jedynce trygonometrycznej": sin² x+cos² x=1 Po chwili jednak zaniepokoiłem się. "Czy to jest dopuszczalne rozwiązanie, czy wypada mi, czy wręcz wolno, stosować takie tricki?" Siedziałem niepewny i na wszelki wypadek rozwiązałem zadanie standardowo. Mamy bowiem:
sin x+cos x=sin x+sin (90°-x)= 2 sin 45° cos (x-45°)= √2 cos (x-45°)≤√2, a zatem największą wartością sumy sinusa i kosinusa (tego samego kąta) jest √2 !

Zwróćmy uwagę, że rozwiązanie pierwsze dało wynik szybciej, natomiast rozwiązanie drugie, "siłowe", dało więcej: obliczyłem największą wartość danej funkcji i wykazałem, że funkcja ta jest w zasadzie "zwykłym cosinusem", tyle że przesuniętym i pomnożonym przez √2 .

Gdy po kilkunastu latach sam już byłem nauczycielem, dawałem to zadanie uczniom liceum. W tych czasach uczono już rachunku różniczkowego. Uczniowie nie mieli wątpliwości: zróżniczkować, przyrównać do zera… i co dalej? Właśnie! Dochodzili do równania sin x = cos x , którego nie potrafili rozwiązać (!), bo nie było w zestawie typowych równań trygonometrycznych.

Pamiętam kolegę ze szkolnej ławy, Krzysztofa. Nie dostał się na Politechnikę, powołano go zatem do wojska - takie były wtedy reguły: studia albo wojsko. Zwolniono go po pół roku z powodów zdrowotnych. Postanowił spróbować jeszcze raz na Politechnikę; douczałem go. Przez dobry miesiąc gnębiłem go równaniem sin x+cos x=2. Nie rozwiązał samodzielnie. Co gorsza, "mojego" rozwiązania po prostu nie zrozumiał. Wtedy nie rozumiałem, czego on nie rozumie. Teraz widzę: nauczanie algorytmiczne ("nie staraj się zrozumieć, po co ci to, szukaj tylko wzoru, pod który mógłbyś podstawić dane!") nie jest wymysłem dnia dzisiejszego…

Do czego to może doprowadzić, opisał w referacie jeden z uczestników konferencji. Na konkursie matematycznym dla uczniów niższych szkoły podstawowej dano zadanie: "Ile to jest 64:4". Komisja nie uznała rozwiązania pewnego ucznia, który napisał tak: "64:2 = 32, 32:2 = 16, zatem 64:4 = 16". Chodziło bowiem o to, by zaprezentować pisemny algorytm dzielenia. Oczywiście komisja zbłaźniła się - ale z podobnym zjawiskiem, podobnym dylematem spotykamy się często. Co jest więcej warte: pomysłowe rozwiązanie, ale dające się zastosować do jednego, konkretnego zadania, czy brzydsze, ale ogólniejsze?

Nie ma też zgody wśród nauczycieli co do stosowalności pewnych metod. Oto typowy, bardzo dobrze znany, przykład.

Zadanie 3. Wykazać, że w dowolnym czworościanie musi istnieć taka ściana, iż rzut jego środka ciężkości na płaszczyznę tej ściany znajdzie się wewnątrz lub na krawędzi ściany.

Jeden z uczestników olimpiady matematycznej (bo na niej było to zadanie) napisał: "gdyby tak nie było, czworościan ten po postawieniu na stole bez ustanku by się przewracał, a jak uczy fizyka, jest to niemożliwe".

Ja osobiście bardzo lubię pomysł na wykazanie, że suma kątów trójkąta jest równa 180 stopni. Użyłem tu świadomie słowa "wykazanie", a nie "dowód". Dowód w sensie matematycznym polega na wyprowadzeniu danego twierdzenia z aksjomatów bądź innych znanych twierdzeń, drogą dedukcji. Każdy krok ma być logicznie uzasadniony. Inne rozumowanie, choć może byłoby wystarczające dla sądu, nie jest dowodem matematycznym.

Niech w wierzchołkach trójkąta ABC znajdują się obrotnice dla lokomotyw. Lokomotywa wyjeżdża z A przodem w kierunku B. W punkcie B obracamy ją o kąt B, czyli kąt przy wierzchołku B. Odcinek BC lokomotywa pokonuje tyłem. W punkcie C obracamy ją o kąt C. Do A dociera, jadąc przodem. Aby była gotowa do jazdy do B, obracamy ją w punkcie A o kąt A. W ten sposób stoi tyłem do B, czyli obrócona o 180 stopni względem położenia początkowego. Ale obracano ją trzykrotnie: o kąt B, potem o kąt C, wreszcie o kąt A. Znaczy to, że suma kątów A+B+C jest równa 180 stopni. Zawsze byłem zwolennikiem zadań o pociągach…

Ciekawy pomysł mamy w dowodzie jednego z pierwszych twierdzeń geometrii rzutowej, które zostało sformułowane i udowodnione w XVII wieku przez francuskiego matematyka Gérarda Desarguesa. Stanowi przykład twierdzenia, które jest niezależne od oryginalnego układu aksjomatów geometrii podanego przez Euklidesa - oznacza to, że nie da się go udowodnić ani obalić, bez przyjęcia dodatkowych założeń. Twierdzenie to wyjaśnia, że jest możliwa bardzo szczególna konfiguracja dziesięciu punktów; na rysunku to O, A, B, C, D, E, F, K, L, M. Jeżeli boki trójkątów ABC DEF (a raczej przedłużenia tych boków) przechodzą przez wspólny punkt O, to punkty wspólne prostych łączących stosowne wierzchołki leżą na jednej prostej. Skomplikowane sformułowanie wyjaśnia rysunek. Punkty K, L, M leżą na jednej prostej.

Można powiedzieć tak: da się posadzić 10 drzew w siedmiu rzędach, po trzy drzewa w jednym rzędzie.

Twierdzenie jak twierdzenie. Jest ważne w tzw. geometrii rzutowej. Co jest interesujące, to dowód. Spójrzmy na figurę DEFABCO jak na bryłę przestrzenną, ostrosłup o podstawie DEF i wierzchołku O, przecięty płaszczyzną ABC. Płaszczyzna podstawy DEF i płaszczyzna ABC mają wspólną krawędź. To właśnie prosta KLM.

Dowód ten wymaga pewnych uściśleń - np. czy płaszczyzny ABC i DEF nie mogą być równoległe. Mogą… i trzeba o tym chwilę podyskutować, czego czynić nie będę dla oszczędności miejsca na stronie.

Zmiana paradygmatu

Zakończę poważną dyskusją. Nie wiem, jak wielu Czytelników ona zainteresuje - bo ile osób interesuje się rozwojem matematyki? Historia sięga lat 50., a nawet 40. XX wieku. Już przed II wojną światową znana była grupa francuskich matematyków, używająca wspólnego pseudonimu Nicolas Bourbaki (podobno autentyczny Bourbaki był jednym z wielu oficerów Napoleona, którzy nie przeżyli odwrotu spod Moskwy). W czasie wojny kilku z tych matematyków dostało się do niewoli niemieckiej, a ponieważ w porównaniu z obozami dla polskich oficerów warunki mieli komfortowe, mogli zająć się matematyką. W dziesięć lat potem narzucili całej społeczności matematycznej nowy paradygmat.

Pojęcie "paradygmatu", stworzone przez Thomasa Kuhna w latach 60. dwudziestego wieku, może być w najlepszy sposób przybliżone jako "zbiór idei, w które trzeba wierzyć". Oznacza nie tyle metodę, co styl działania w nauce, sposób patrzenia na nią, charakter jej uprawiania. Już nie liczby, figury, bryły i funkcje były ważne. Ważna była forma, idea, ogólność. Ten zwrot kierunku badań wyrzucił za burtę jedną z dwóch najważniejszych specjalności pięknej polskiej szkoły matematycznej: topologię geometryczną. Przepraszam, nie będę wyjaśniał, o co chodzi. Powiem tylko, że badania polskich matematyków dotyczyły przestrzeni bardzo skomplikowanych, ale i bardzo dziwnych; teraz powiedzielibyśmy, że udziwnionych. Do każdego zadania trzeba było wymyślić specjalny sposób. Żadnej ogólności nie było (no, jednak trochę przesadzam). W "nowej" matematyce liczyło się zaś tylko to, co ogólne. Tak jest i do tej pory, chociaż rozwój komputerów sprawia, że tricki są znowu potrzebne. Niewielu protestowało przeciwko nowej matematyce. "Matematyka sprowadzona do ogólnych teorii byłaby piękna, ale bez treści. Wkrótce by umarła."

Napisane ok. 300 r. p.n.e. "Elementy" Euklidesa były, po pewnych przeróbkach, aż do początków XIX wieku zarówno podręcznikiem dla uczącej się młodzieży, jak i nieodzowną lekturą zawodowych matematyków. O dziele tym wyrażali się wszyscy z największym podziwem. Przytoczmy słowa Alberta Einsteina: "Ten najbardziej zdumiewający produkt myśli dał ludzkiemu rozumowi tę wiarę w siebie, która była niezbędna dla jego dalszej działalności".

"Świat jest odbiciem idei, w które ludzie wierzą". Przyznawało to wielu myślicieli. "Elementy" Euklidesa nie tylko uporządkowały wiedzę geometryczną, jaką 300 lat przed naszą erą mieli Grecy. Gottfried Wilhelm Leibniz napisał w 1704 r.: "trzeba przyznać, że Grecy w matematyce rozumowali z wszelką możliwą dokładnością i że pozostawili rodzajowi ludzkiemu wzory sztuki dowodzenia". Dla licznych pokoleń Euklides był przede wszystkim nauczycielem logiki. Dlatego ideał logicznego budowania nauki bywał nazywany w XVII i XVIII wieku sposobem geometrycznym.

Rzecz zadziwiająca, że tak praktyczna umiejętność jak mierzenie ziemi zmieniła się we wzorzec matematycznej ścisłości, precyzji, metod dowodzenia, argumentacji i w ogóle logiki. Aż do połowy XIX wieku termin "geometra" oznaczał bowiem matematyka, "matematykiem" - zgodnie przecież z etymologią słowa - był zaś każdy uczony uprawiający nauki ścisłe, a "sposobem geometrycznym" zostały napisane takie dzieła, jak "Wzorzec dowodów politycznych" Leibniza, "Etyka" Spinozy i "Optyka" Newtona.

Co to ma wspólnego z tematem tego artykułu? Ano, zapoczątkowana jeszcze w latach 50. XX wieku zmiana paradygmatu matematyki dała w rezultacie bardzo głęboką reformę nauczania, która do Polski trafiła w połowie następnej dekady. "Będziemy mogli uczyć przedszkolaków wyższej matematyki" wołali zachwyceni matematycy, a dydaktycy - głównie za sprawą Zofii Krygowskiej - napisali stosowne podręczniki. I już po kilku latach okazało się, że owszem, można uczyć wszystkich wszystkiego, ale nikt niczego nie rozumie - z wyjątkiem garstki młodych ludzi, zafascynowanych samą matematyką. Sytuację "poprawiono", wyrzucając matematykę z egzaminu maturalnego. Gdy potem przywrócono matematykę na maturze, okazało się, że młodzież umie mniej niż przed pierwszą reformą. "Chcieliśmy dobrze, a wyszło jak zwykle". Nie spowiadam się z cudzych grzechów - sam należałem do entuzjastów nauczania matematyki w jak najszerszym zakresie, a usprawiedliwienie, żem był młody i głupi, jest wykrętem.

Powoli wycofaliśmy się z tej reformy, a efekt jo-jo, znany grubasom, dał to, co zawsze daje. Nastąpiło wahnięcie w przeciwną stronę: poziom spadł poniżej poziomu wyjściowego. Ale o tym za miesiąc…