List na rok 2015

Słucham? Że nie ma takich biegunów? Cóż, wracam ostatnio do dawnych lektur i pamiętam, że Kubuś Puchatek twierdził, iż te bieguny są, tylko ludzie nie lubią o nich mówić. Może. Na hasło "biegun wschodni" zgłosiło mi się w 0,36 sekundy w Google 113 tys. stron… no, to chyba ten biegun istnieje. W każdym razie polecam lekturę.

Na szczęście własności liczby 2015 nie są zależne od pór roku i innych dziwnych zjawisk przyrody. Rozłóżmy 2015 na czynniki pierwsze.
Mamy 2015 = 5∙13∙31.

Zapamiętałem z dzieciństwa, że mój ojciec miał bilet miesięczny na te trzy linie tramwajowe (warszawskie). Ich przebieg pokrywał dużą część ówczesnej Warszawy. Ale do rzeczy (czyli do matematyki). Dwie pierwsze liczby tego rozkładu to liczby Fibonacciego, znane matematykom od stuleci. Kto nie zna określenia liczb Fibonacciego, niech zachowa się, jak na 21-wiecznego internautę przystało, to znaczy dowie się o nich za pomocą dowolnej wyszukiwarki internetowej, a ja nie przedłużam artykułu.

Wspomnę tylko, że kilkanaście lat temu wymyślono, iż własności ciągu Fibonacciego mają związek z ruchami cen na giełdzie. Uczyniono to często spotykaną metodą: kilka czy nawet kilkanaście starannie wyselekcjonowanych przykładów podniesiono do rangi ogólnej zależności. Metodę tę niektórzy biorą na poważnie. Dziwi mnie, że jednocześnie odrzucają lepiej działające metody: wróżenie z fusów, ewentualnie z wnętrzności ptaków. Ale może kilka osób zrobiło habilitacje…

Pięć - a sprawa nie tylko polska

Pogwarzmy sobie o liczbie 5. Jeśli, Czytelniku, popijałeś kiedyś o piątej po południu (takie brytyjskie five o'clock) pięciogwiazdkowy koniak w pięciogwiazdkowym hotelu, to może życie ułożyło ci się na piątkę? Na pewno nie można wtedy o Tobie powiedzieć, że brak ci piątej klepki. Jesteś cenionym specjalistą i znasz swój fach jak swoje pięć palców. Nie pleciesz piąte przez dziesiąte, wszystko robisz porządnie, a nie, jak niektórzy, ni w pięć ni w dziewięć. To kwintesencja Twojego sukcesu. W Twojej specjalności nikt nie powie Ci, że jesteś potrzebny jak piąte koło u wozu. Na zakończenie udanego dnia pracy przybijasz piątkę z kolegami.

Masz może ładną daczę nad rzeką, swoje cztery kąty (i piec piąty). Tam odpoczywasz, wszystkie Twoje pięć zmysłów działa na zwolnionych obrotach. Jest ci dobrze i wesoło, nie musisz spuszczać nosa na kwintę. To ostatnie słowo kojarzy ci się tylko z kołem kwintowym oraz kwintą skali muzycznej, interwałem prostym zawartym między pięcioma kolejnymi stopniami skali muzycznej. Na tym interwale Pitagoras oparł całą swoją skalę muzyczną, znaną jako diatoniczna.

Podczas wizyty u rodziców (a może nawet dziadków) odnalazłeś na spodzie półki książkę sprzed lat "Piątka z ulicy Barskiej" - o pięciu sympatycznych chłopcach żyjących w trudnych latach pięćdziesiątych, bohaterach powołanych do życia przez Kazimierza Koźniewskiego w jego socrealistycznej powieści pod tym właśnie tytułem. Film oparty na niej był całkiem niezły, reżyserował go Aleksander Ford, a grali m.in. Tadeusz Łomnicki i Tadeusz Janczar.

Prawdopodobieństwo, Czytelniku, że jesteś wyznania mojżeszowego, jest niewielkie, ale na pewno wiesz, że Pięcioksiąg to Tora. Wiemy też, że Jezus miał pięć ran.

Pentagram (pięciokąt foremny) jest bardzo interesującą figurą, ale nie mogę zanadto się rozpisywać. Jest to także wyobrażenie pięciu zmysłów, klucz Salomona i "stopa czarownika". Pamiętamy może, że Faust chciał się zabezpieczyć przed diabłem przez narysowanie tego symbolu na progu swojego domu. Zrobił to niestarannie i oto, co się stało:

Pięciokąt gwiaździsty, figura typu {5,2} w symbolach Schlāfliego, którą w dzieciństwie uczyliśmy się rysować bez odrywania ołówka od kartki, konfiguracja (102 , 54), czyli po prostu gwiazda pięcioramienna, został zaanektowany przez całą ludzkość. Wystarczy zdać sobie sprawę, na ilu flagach powiewa i na ilu znakach firmowych występuje.

Mamy pięć palców u jednej ręki i prawdopodobnie dlatego "pięć" oraz "pięść" brzmią podobnie (po niemiecku zehn to 10, a Zehe to palec u nogi).

Wszyscy wiemy jednak, że w Dolinie Pięciu Stawów Polskich jest tych stawów sześć (Przedni, Mały, Wielki, Czarny, Zadni i Wole Oko) i że o drużynie hokejowej myślimy jak o zespole pięcioosobowym, gdy naprawdę gra sześciu.

Piątka w matematyce

W matematyce liczba 5 występuje w wielu ciekawych twierdzeniach. Jest tylko pięć wielościanów foremnych (platońskich), czyli takich, które mają jednakowe foremne ściany, zbiegające się w każdym wierzchołku w tej samej liczbie. Wiązano je z żywiołami: czworościan z ogniem, sześcian z ziemią, ośmiościan z powietrzem, dwudziestościan z wodą. Ostatni odkryty wielościan foremny - dwunastościan - wiązano z harmonią Wszechświata.

Każda elipsa i każda hiperbola są wyznaczone przez pięć punktów. Nie istnieją wzory na pierwiastki dowolnego równania piątego stopnia i to odkrycie (1824, Niels Henrik Abel, wcześniejszy dowód Ruffiniego był niezrozumiany przez współczesnych) dało początek nowoczesnej, bardzo "zalgebraizowanej"... algebrze.

Pitagorejczycy nazywali 5 liczbą małżeńską, bo jest sumą pierwszej liczby żeńskiej 2 i pierwszej męskiej 3. Liczby miały bowiem swój rodzaj: parzyste żeński, a nieparzyste męski, z wyjątkiem nijakiej jedynki.

W szesnastowiecznej powieści "Gargantua i Pantagruel", która stworzył François Rabelais, czytamy: "Pitagoras bowiem nazywał liczbę pięć liczbą godową, liczbą spełnionych zaślubin i małżeństwa, dla tej przyczyny, iż jest złożona z tryas, która jest pierwszą liczba nieparzystą i niepodzielną i dyas, która jest pierwszą liczbą parzystą - jakoby mąż i niewiasta spleceni razem. Jakoż w istocie, w starożytnym Rzymie zapalano w dzień zaślubin pięć woskowych pochodni i nie wolno było zapalać więcej, choćby na ślubie najbogatszych. Co więcej, za dawnych czasów poganie wzywali pięciu bogów, albo raczej jednego boga w pięciu łaskach, dla tych, którzy się zaślubiali: Jowisza weselnego, Junonę, przodownicę świętą, Wenerę piękną, Pythonę, boginię namowy i pięknych słówek i Dianę na pomoc w pracy rodzenia" (przekład Tadeusza Boya-Żeleńskiego).

Wróćmy znów do matematyki. Liczba 5 jest liczbą Fermata. Tak nazywają się liczby postaci

a można je ustawiać w estetyczną piramidkę:

Boki (dokładniej: punkty końcowe każdego wiersza) tej piramidki wyznaczają pewną krzywą, którą "zobaczyć" można przymknąwszy lekko oczy. Jaka to krzywa? Spostrzegawczy już wiedzą! To krzywa logarytmiczna. Dlaczego? A ile cyfr ma liczba Fn? Odpowiedź: tyle, ile wynosi jej logarytm dziesięt - ny, zaokrąglony w górę. No, to… dokończenie jest jako zadanie dla Czytelników.

Już Karol Gauss (1777-1855; nazywano go Princeps mathematicorum, czyli księciem matematyków) wykazał, że wielokąt foremny, którego liczba boków jest pierwsza, może być skonstruowany za pomocą cyrkla i linijki wtedy i tylko wtedy, gdy liczba ta jest liczbą pierwszą Fermata. Konstrukcje trójkąta i pięciokąta znane były od dawna, siedemnastokąt skonstruował właśnie Gauss. 257-kąt foremny stworzono w 1832 r. (Richelot i Schendenwein), a sposób konstrukcji 65537-kąta foremnego opublikował nauczyciel gimnazjum Johann Gustav Hermes w 1894 r. Sama konstrukcja zajmuje 200 stron, a do opisu dołą - czono rysunek półtorametrowej wielkości.

Rękopis przechowywany jest w Instytucie Matematycznym w Getyndze. Hermes pracował nad tym zadaniem przez 10 lat. Poprawność konstrukcji jest co prawda teraz kwestionowana, ale formalnego zarzutu nikt nie postawił, być może dlatego, że nie ma to (niestety, drogi panie Hermes) znaczenia dla ma - tematyki i nikomu "nie chce się" za to wziąć. Być może konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki wrócą jeszcze do łask, bo znajdą zastosowanie militarne (tak, jak się stało z teorią liczb - odkryto jej wielk ą rolę w kodowaniu danych).

Za konstrukcję wielokąta foremnego o liczbie boków wynoszącej 4 294 967 297 mogą się wziąć chyba tylko jakieś UFO-ludki. Samo postawienie tylu kropek zajęłoby czasu…, no to kolejne zadanie dla Czytelników! Jeśli mamy drukarkę drukującą 1000 znaków na sekundę, to ile czasu zajęłoby postawienie 4 294 967 297 kropek?

Nie pechowy fragment o…

1. Częstość, z jaką 13 dzień miesiąca przypada w poszczególne dni tygodnia
(źródło: http://goo.gl/cqUy1R)

I tyle na temat piątki, gawęda rozpłynęła się trochę na boki…. O trzynastce (będącej następnym czynnikiem 2015) wspomnę tylko w związku z triskaidekafobią - powszechnym w kulturze zachodniej (szczególnie w krajach kultury romańskiej) lęku przed liczbą 13. Mit ten jest starszy od chrześcijań - stwa, choć w ostrej formie bywa łączony z Ostatnią Wieczerzą, w której uczestniczył Jezus i 12 aposto - łów. Kto chce, niech też wierzy, że jedyny nieudany lot na Księżyc był dlatego tak dramatyczny, że miał zły numer (Apollo 13).

To łączy się z przesądem feralnego piątku, a połączone strachy mają ładną nazwę: paraskewidekatriafobia - od greckich słów paraskevi (piątek) oraz dekatreis (trzynasty). Według nieuzasadnionego poglądu ten przesąd pochodzi stąd, że w piątek, 13 października 1307 r. aresztowano templariuszy.

2. Paradoks 63 = 64 = 65
(źródło: http://goo.gl/X0RRPY)

Każdego, kto słyszy o tym po raz pierwszy, dziwi, że 13 dzień miesiąca przypada częściej w piątek niż w jakikolwiek inny dzień. Gdy jednak przeprowadzimy stosowne rachunki, sprawa będzie jasna. Kalendarz, którego używamy, powtarza się cyklicznie co 400 lat. Daje to 4800 miesięcy, 20 871 tygodni oraz 146 097 dni. Nierówno - mierność długości poszczególnych miesięcy sprawia, że kolejne dni miesiąca nie przypadają jednakowo często w poszczególne dni. Dokładne obliczenie pokazuje, że w tym cyklu 13 dzień miesiąca przypada 687 razy w poniedziałek, a w kolejne dni 685, 685, 687, 684, 688 i 684 razy. Suma tych liczb to akurat 4800, zatem piątek pojawia się średnio z częstością 688/4800, większą niż inne dni!

I kolejne zadanie dla Czytelników: proszę wykazać, że w każdym roku musi kiedyś wypaść hiperferalny piątek 13-go, ale nie może być ich więcej niż trzy. W roku 2015 poczekamy na taki dzień aż do listopada.

Liczby 5 i 13 dają ładne złudzenie, widoczne na rys. 2. Widoczny tu prostokąt 5 na 13 ma to samo pole, co kwadrat 8 na 8! Paradoks ten, opublikowany po raz pierwszy w roku 1868 (Sam Lloyd), stał się już mocno ograny.

Liczby z globalizacji

Liczba 31 jest jedną - notabene piątą - z liczb Mersenne'a (Marin Mersenne, 1588-1648, był francuskim zakonnikiem, ale w historii nauki zachował się jako niezły matematyk). Liczbami Mersenne'a nazywamy liczby postaci 2 n-1. Nowe, coraz to większe liczby pierwsze znajdowa - ne są ostatnio na ogół jako liczby Mersenne'a. Oficjalny rekord dzierży liczba Mersenne'a, w której wykładnik jest równy 32582657. Została odkryta dość dawno, w 2006 r., ale dopiero 8 listopada 2014 r. ogłoszono, że wszystkie obliczenia wykonano poprawnie i wynik jest prawidłowy.

3. Liczby pierwsze Mersenne'a znajdowane przez sieć komputerów

Do sprawdzenia czeka w kolejce jeszcze kilka liczb, z których największa to liczba z wykładnikiem 57885161. Z jej ogromu trudno zdać sobie sprawę; ale warto wspomnieć o znacznie ciekawszej sprawie. Otóż do 1996 r. kolejne największe liczby pierwsze znajdowano przy pomocy potężnych superkomputerów Cray. Wtedy ktoś wpadł na pomysł, żeby obliczenia powierzać nie jednemu Potężnemu, a tysiącom mniejszych komputerów, połączonych prawdziwą, choć przecież niewidzialną, siecią globalną. Do przedsięwzięcia tego, zwanego GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search), może przystąpić niemal każdy. Wystarczy wypełnić stosowne zgłoszenie. Wymagania sprzętowe nie są zbyt wygórowane. Muszę powiedzieć, że budzi to zarówno mój podziw, jak i grozę… może bardziej grozę… Cała ludzkość w jednej sieci…

Rysunek 3 (za: Wikipedia, Mersenne numbers) pokazuje postępy globalizacji. Na osi poziomej jest czas (kolejne lata), na pionowej wykładniki liczb pierwszych Mersenne'a, znalezionych przez tysiące komputerów, sprytnie połączonych w jedną wielką, oplatającą wszystko sieć. Jak widać, jest to funkcja liniowa. Gdyby ten trend się utrzymał…, dokończenie tego zdania pozostawiam fantazji Czytelników.

Inne ciekawe własności

4. Trzydzieści jeden
(autor: Stefan Friedrich Birkner)

Czynniki pierwsze liczby 2015 mają jeszcze kilka innych ciekawych własności. Suma tych liczb jest kwadratem liczby pierwszej, suma ich kwadratów - iloczynem czterech kolejnych liczb pierwszych. I co ważniejsze - spośród wszystkich trójek liczb spełniających te zależności najmniejsza to właśnie 5, 13, 31. Oto te zależności:

5 + 13 + 31 = 7²;
5² + 13² + 31² = 3·5·7·11,
i zauważmy, że 3, 5, 7 i 11 to kolejne nieparzyste liczby pierwsze. Znalezienie innych trójek liczb o tych własnościach znów pozostawiamy dociekliwemu Czytelnikowi. Mój laptop po pięciu minutach pracy odpisał: "wśród liczb mniejszych od 45921171941, taką własność ma tylko 2015".

Każdą liczbę Mersenne'a można przedstawić w postaci sumy potęg 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + … m.
Istotnie, wystarczy zastosować wzór na sumę ciągu arytmetycznego. A zatem:
31 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16.
Mamy jednak inny rozkład:
31 = 1 + 5 + 52 .

Niby nic takiego, ale liczb, które można zapisać na dwa sposoby w postaci sumy kolejnych potęg "prawie" nie znamy. Następna po 13 jest dopiero 8191. Jest to trzynasta liczba Fermata, zatem:
8191 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 + 1024 + 2048 + 4096.
Mamy także:
8191 = 1 + 90 + 902.

I jeszcze jedna własność naszych czynników; własność niezbyt ważna, ale jednak uhonorowana nazwiskiem. Liczbami pierwszymi Wilsona nazywają się takie liczby pierwsze p, że:
(p-1)! + 1 jest podzielna przez p².
Obliczmy 12! = 479001600, dodajmy 1 i przekonajmy się, że wynik jest podzielny przez 169. Ilorazem jest 2834329.

Czy są inne liczby o podobnej własności? Tak. 563. Niestety, liczba 562! ma 1304 cyfry i szkoda miejsca na wydruk. Skąd wiedziałem, że 563? No cóż, systematyczne poszukiwania. A czy są jeszcze inne takie liczby? Na to pytanie nie znamy odpowiedzi.

Do siego a minus b…

Kończę jeszcze jednymi życzeniami-zadaniem; a uważny Czytelnik znajdzie wiele wskazówek i podpowiedzi w tekście. Otóż niech b oraz a > b będą dwiema najmniejszymi liczbami, które można przedstawić w postaci sumy potęg (o podstawach różnych od 1 oraz różnych od a-1 i b-1). Niech c będzie sumą d pierwszych sześcianów (tj. trzecich potęg, zaczynając od 1), wreszcie niech d będzie taką liczbą złożoną, że (d-1)! nie jest podzielne przez d.

Szczęśliwego
A zatem w roku 2015 "zawierają się" nieźli uczeni: Leonardo Fibonacci (ok. 1175-1250), Pierre de Fermat (1601-1665), Karl Friedrich Gauss, Marin Mersenne, sir John Wilson (1741-1793), a także GIMPS - opętanie nas wszystkich siecią pajęczą. Nieźle, jak na skromny rok, jeden z tych, w którym przyszło nam żyć. Niech Ci się pieni szampan, Kaziu!