Zostań w domu, zamów taniej!
Nie wychodź z domu i zamów online swoje ulubione pisma 20% taniej. Skorzystaj z kodu rabatowego: czytajwdomu

Stare klocki, czyli szukając nowych form

Stare klocki, czyli szukając nowych form
Byłem niedawno na arcyciekawej dyskusji - właściwie było to spotkanie wspominkowe plus trochę futurologii z okazji 25-lecia Internetu w Polsce. Moim zdaniem, w szerszym użyciu pojawił się on dopiero ok. roku 2000. Pamiętam swój zachwyt nad pocztą elektroniczną. „Jakie to proste! Jeżeli chcę się porozumieć z kolegą z Francji, to wystarczy mi pojechać na uniwersytet, odstać trochę w kolejce do stanowiska i zawiadomić telefonicznie kolegę, żeby odebrał list”. Dziś nikogo nie dziwi, że dyskutujemy jednocześnie z całym światem. Ale… otóż w młodości pisywałem listy do znajomych z Krakowa, rodzeństwa, Marysi i Staszka. Pamiętam, że pisałem zawsze w środę, a odpowiedź przychodziła w poniedziałek. Był to miły rytuał. Dzisiaj możemy się porozumieć w każdej chwili: mailem, komórką, telefonem stacjonarnym, facebookiem… i pisujemy do siebie raz na rok.

Pierwsze koleje na ziemiach polskich zaczęły powstawać przed 1850 r., a w 1875 r. sieć ich była całkiem gęsta. W 25 lat po wynalezieniu radia było ono w dość powszechnym użyciu. Każdy z tych wynalazków zmieniał życie całych społeczeństw. To banalna i ograna prawda.

1. Klocki Lego – wersja classic

Po tym przydługim wstępie powiem wreszcie, o co mi chodzi. O szkołę, o nauczanie. Internet i w ogóle komputery zmieniły świat. Musimy zmienić i nauczanie. Nie mam na myśli różnego rodzaju e-learningów. To tylko protezy, to tylko próba wykorzystania nowych technik do staroci, zamontowanie silnika Rolls-Royce’a do wozu drabiniastego. Nie umiem sobie wyobrazić, jak i czego uczyć w przyszłości.

Historia jest nauczycielką życia. Korzystajmy z doświadczeń, próbujmy szukać w przeszłości czegoś, co da się przetransformować do przyszłości.

Co najmniej trzecią część szkolnej nauki geometrii w „moich” czasach zajmowały zadania konstrukcyjne. Młodszym Czytelnikom uzmysłowię: nie chodziło tylko o narysowanie czegoś. Dopuszczalnymi przyrządami były jedynie cyrkiel i linijka, i to nie dlatego, że są to najprostsze i najtańsze przyrządy, i że znane były właściwie już w starożytności: naciągnięta lina to model linii prostej, a narysować łuk koła za pomocą sznurka też łatwo. Zadania konstrukcyjne przyszły do nas z Grecji, przetrwały średniowiecze, Odrodzenie, Oświecenie, kapitalizm XIX wieku… i trzy ćwierci XX wieku. Usunięto je z nauczania właściwie słusznie. Były anachroniczne, no i coś trzeba było usunąć, by pomieścić nowe treści.

2. Widok na Pieniny

Zadania te miały jednak trzy bardzo ważne zalety. Bardzo dobrze uczyły myślenia, w tym myślenia algorytmicznego. Po drugie, dawały pewne ćwiczenia manualne, kształciły sprawność ręki. Po trzecie, były to zadania, w których powstawał konkretny produkt: rysunek właśnie. Produkt nieomal materialny, a nie zaś istniejące tylko w umyśle rozwiązanie jakiegoś równania. W matematyce niewiele jest takich zadań.

Poszukując nowych form nauczania, przypomniałem sobie klocki Lego. Prawdziwe klocki z dzieciństwa… chociaż w zabawie nic nie zastąpi tych najprawdziwszych, drewnianych. Duża rozmaitość rozmiarów, kolorów i kształtów klocków Lego sprawia, że można je wykorzystać od nauczania przedszkolnego do uniwersyteckiego. Mam na myśli klocki typu classic - wyłącznie kostki prostopadłościenne, z charakterystycznymi guziczkami. Budowanie z nich nie tylko jest przyjemne, ale i wpływa na wyobraźnię.

Kolega, któremu to opowiedziałem, zdziwił się nieprzyjemnie: „po co klocki, firma na pewno ma programy na tworzenie dowolnych układanek. Klikasz i masz…”. Zamurowało mnie… ale i przypomniała mi się historia nauczyciela, który w pewnej klasie pokazał dzieciom zjawisko „złamanej łyżeczki” w kubku z wodą. Uczniowie byli zdziwieni i przejęci. W równoległej klasie przeprowadził zaś symulację komputerową - uczniowie przyjęli to obojętnie. Wiadomo, Photoshopem wszystko można.

Ćwiczenie 1 (przedszkole). Pokaż klocki: a) długie, b) krótkie, c) szerokie, d) wąskie, e) małe, f) duże, g) kwadratowe, h) podłużne, i) czarne, j) białe, k) jasne, l) ciemne. Nazwij wszystkie kolory, które widzisz. Które kolory są ciepłe, a które jasne? Autor artykułu jest pod tym względem typowym mężczyzną, dla którego łososiowy, bordo i karminowy to ten sam czerwony, ale z teorii wie, że to co innego i wcale nie uważa, że chłopców należy wychowywać w takiej nieświadomości.

3. Gdzie jest przód strzały? Co ma z lewej, a co z prawej?

Ćwiczenie 2a (w wersji dla studentów I roku informatyki). W widocznym zbiorze klocków wprowadzamy relację równoważności, uznając klocki za równoważne, jeżeli mają ten sam kolor. Opisz klasy abstrakcji tej relacji. Opisz klasy równoważności relacji, w której za równoważne uznajemy klocki tych samych rozmiarów.

Ćwiczenie 2b (to samo, ale w wersji dla przedszkolaków). Pogrupuj klocki wg kolorów, a potem według rozmiarów. Przejdźmy do szkoły podstawowej, a w każdym razie do materiału, który zrozumieją uczniowie nawet siedmioletni. Najpierw trochę dla dorosłych (nauczycieli). Mamy naturalną skłonność do patrzenia dwubiegunowo. Gdziekolwiek jest przód, jest i tył, gdzie jest lewo, jest i prawo, góra idzie w parze z dołem, prawda z fałszem, południe z północą, wschód z zachodem. Czymże byłby Raj bez perspektywy Piekła? Gdyby nie było plusa, to i minus byłby niepotrzebny. Hет худа без добра. Keine Rose ohne Dornen. Whenever you gain, you lose. Dr Jekyll ma swego Mr Hyde’a, a Batman swojego Jokera. Każdy, kto uczył się języka obcego, zaliczył odpowiednie ćwiczenie: określ antonim danego słowa, np. pełny-pusty, gruby-chudy, szeroki-wąski. To znany z logiki podział dychotomiczny, najprostsza klasyfikacja pojęć i rzeczy: na dwie klasy.

Ćwiczenie 3. Na fot. 1 pokaż, jakie klocki ustawiłbyś w pary. Dlaczego chcesz właśnie tak? Ćwiczenie 4. Czy byłeś może w Pieninach, zwiedzałeś Czerwony Klasztor, płynąłeś Dunajcem, widziałeś Trzy Korony? Ja byłem… i ułożyłem taki obrazek (2). Nie mam zdolności plastycznych - ułóż lepszy. Ale czy na moim obrazku widzisz Czerwony Klasztor (to ten czerwony domek), biały (bo wapienny) szczyt o nazwie Trzy Korony, zielone pola, ciemne góry, żółte słońce i fioletową kładkę nad Dunajcem na słowacką stronę? Na pewno widzisz.

Ćwiczenie 4. Czy byłeś może w Pieninach, zwiedzałeś Czerwony Klasztor, płynąłeś Dunajcem, widziałeś Trzy Korony? Ja byłem… i ułożyłem taki obrazek (2). Nie mam zdolności plastycznych – ułóż lepszy. Ale czy na moim obrazku widzisz Czerwony Klasztor (to ten czerwony domek), biały (bo wapienny) szczyt o nazwie Trzy Korony, zielone pola, ciemne góry, żółte słońce i fioletową kładkę nad Dunajcem na słowacką stronę? Na pewno widzisz.

Gdzie tu jest jakaś matematyka? Spójrz na Dunajec. Czy widzisz, że wszystko się w nim odbija? Górna połówka obrazka jest „taka sama” jak dolna. A właściwie nie taka sama, tylko… no właśnie, symetryczna. Matematycy nazywają to symetrią lustrzaną albo osiową. Wszystko odbite jak w lustrze.

A czy strzała na fot. 3 jest symetryczna? To zależy oczywiście, czy będziemy zwracać uwagę na kolory, czy nie. Matematycy powiedzieliby: abstrahujemy od kolorów, czy nie? Abstrakcja to wyodrębnienie z zespołu cech danego obiektu cechy jednej, interesującej nas. Pan Kowalski będzie zwracać uwagą na markę samochodu, pani Kowalska na kolor. Gdzie jest przód, a gdzie tył figury na fot. 3? Nie mamy wątpliwości – strzała leci „do góry”, światełko czerwone ma z lewej, zielone z prawej. Tak jest w ruchu lotniczym, co teoretycznie znaczy „wyprzedzaj z prawej”. Teoretycznie, bo przecież samoloty nie ścigają się jak samochody. A przy okazji zauważmy, że ten naturalny dla nas kierunek, który pokazuje strzałka, byłby zrozumiały tylko dla cywilizacji, w której kiedyś strzelało się z łuku! Trudno zresztą wypowiadać jakieś ogólne twierdzenia, bo innej cywilizacji przecież nie znamy.

4. Równoległość. Każdy klocek przesuwamy o dwa guziczki w prawo i jeden do góry. Mamy zatem linie proste o kierunku [2, 1]
5. Prostopadłość. Klocki każdej z linii są obrócone o 90 stopni względem klocków drugiej linii. Widać, że kierunkiem prostopadłym do [3, 1] jest [-1, 3] albo [1, -3]
6. Z jakich klocków da się ułożyć zieloną „serwetkę”?

Uczę studentów informatyki. Mają oni trudności z matematycznym wyrażeniem równoległości i prostopadłości. W tym roku potraktowałem ich ilustracjami takimi, jak fot. 4 i 5.

Fot. 4 i 5 dają też piękny przykład abstrakcji. Ani niebieskie, ani żółte, ani zielone klocki na tych fotografiach nie tworzą linii prostej. A jednak „widzimy” tam te linie. Umiemy je sobie wyabstrahować z rysunku. Klocki Lego dobrze uczą kreatywności.

Ćwiczenie 5. Czy zieloną „serwetkę” na fot. 6 da się ułożyć z klocków o wymiarach 4 x 2? Mając do dyspozycji klocki aż do rozmiaru 2 x 8, ułóż tę „serwetkę” z jak najmniejszej ich liczby.

Ćwiczenie 6 (dla licealistów). Oblicz pole serwetki o n ząbkach. Na fot. 6 widzisz serwetkę o ośmiu ząbkach.

Rozwiązanie. Dopełnijmy tę figurę do pełnego kwadratu za pomocą trójkątów, z których jeden jest widoczny na fot. 7. Jeżeli jest n rożków na jednym boku, to każdy z trójkątów dopełniających ma następujące pole: najpierw 6, a potem suma ciągu arytmetycznego o n-2 wyrazach (z których początkowy to 8) i różnicy 6. Jest to równe 3n2-13n+26. Kwadrat ma bok 4n+2, łączne pole figury jest równe (4n+2)2 – 4(3n2-13n+26) = 4(n2+17n-25).

7. Dopełnianie „serwetki” do kwadratu…
8. „Serwetka” dopełniona

Ćwiczenie 7. Oblicz pola takiej „serwetki” (8)

Zadanie. Jaki wzór skróconego mnożenia widzisz na fot. 9?

9. Klocki, czyli wzór na skrócone mnożenie?
Przeczytaj także
Magazyn