Buraki, kurniki w ZSRR i rynny potrząsalne

Zanim jednak wezmę się za jedno z uroczych tamtych zadań, zastanowię się nad sposobem nauczania matematyki. Dajemy uczniom zadania. Rozwiązują (albo nie). Dajemy następne i tak dalej. W gruncie rzeczy znajomość matematyki (np. na maturze) równa się sprawności w rozwiązywaniu typowych zadań. To i dobrze – na egzaminach na prawo jazdy egzaminatorzy też sprawdzają, czy umiemy sprawnie posługiwać się dźwigniami i pedałami, czy znamy przepisy („jazda pod prąd na ulicy jednokierunkowej to jak dzielenie przez zero”) i czy jeździmy bezpiecznie. Nie jest testowana na przykład umiejętność rajdowego zakręcana z poślizgiem.

Od dziesięcioleci dydaktycy powtarzają: matematyka nie jest trudna. Jest tylko źle uczona, a kolejne pokolenia dziedziczą po swoich rodzicach niechęć. Z tym pierwszym bym się nie zgodził. Matematyka jest trudna. Czy można jej uczyć trochę inaczej? Można, ale to trudne i dopóki nie ma tego w standardach (tak zwanych sylabusach; brr, to słowo zawsze mi się myli z trolejbusem) – to nie ma szans powodzenia. O czym myślę? Też o zadaniach, ale trudniejszych, a mianowicie o zadaniach, które polegają na ułożeniu zadania. Nie wiadomo, o co mi chodzi? Zaraz wszystko się wyjaśni. Najpierw zadanie. Wczesne lata sześćdziesiąte XX wieku. Jeszcze nic nie zapowiada zmian politycznych.

W spółdzielni produkcyjnej dwie 10-osobowe brygady polowe pracowały przy przerywaniu i pieleniu buraków. Pierwsza brygada pracowała o 5 dni dłużej niż druga i uprawiła w tym czasie 6 ha pola. Druga pełła i przerywała dziennie o 0,4 ha więcej od pierwszej i za cały czas swej pracy uprawiła o 1 ha mniej od pierwszej. Ile ha plantacji buraków opełła i przerwała każda brygada dziennie?

Przyjmując, że pierwsza brygada wykonywała normę dzienną, za którą oplata wynosi 1,2 dniówki obrachunkowej, obliczyć, o ile procent druga brygada przekroczyła normę dzienną i ile zarobił każdy jej członek, jeżeli dniówka obrachunkowa wynosiła 32 zł.

Uff. Takie bywały zadania! Można było je znielubić. Ale chyba konieczne są objaśnienia. Zajmą tyle, co sama treść zadania. „Spółdzielnie produkcyjne” to były po prostu kołchozy – w Polsce w znacznie łagodniejszej wersji. Szło się do pracy na pole, jak do fabryki, za co dostawało się wynagrodzenie za każdy dzień pracy – tak jak robotnik. Bywały jednak prace łatwiejsze i trudniejsze, a więc mnożyło się to przez „współczynnik trudności”. Co to jest pielenie – nie trzeba tłumaczyć, a „przerywanie” to usuwanie młodych roślin, żeby nie rosły za gęsto. Niemal w każdej pracy w PRL obowiązywała norma (dzienna, tygodniowa, miesięczna) – nawet w pasażerskich przewo-ach kolejowych i w pralni i stąd potworek językowy „upiór dzienny”. Normy te należało jednak quasi-dobrowolnie przekraczać, rekordziści trzykrotnie i więcej.

Teraz do zadania. Odpowiedni układ równań nie jest trudny i dochodzimy do podanego w zbiorku rozwiązania: pierwsza brygada „pełła i przerywała” 0,6 ha dziennie, druga 0,4. Pierwsza pracowała 10 dni, druga 5. Mam wątpliwości co do podanej w książce odpowiedzi o zarobkach (64 zł). Jest mało prawdopodobne, żeby dniówka obrachunkowa wynosiła 32 zł na całą brygadę 10-osobową, a więc 3 zł 20 groszy za dzień pracy. Masło kosztowało wtedy 17,50 (za kostkę), za 20 zł można było zjeść obiad w restauracji, a jajka były po 1,50…2 zł. Jeżeli przyjmiemy, że to było 32 zł dziennie na osobę, to odpowiedź jest bardziej realna – 640 zł. Może to zresztą błąd w druku. Można to zilustrować ładnym diagramem (1).

1.

Przyglądajmy się dalej. Nie wiem, czy realne jest, żeby pole buraczane miało (jak wychodzi z zadania) 11 ha, czyli kilometr na 110 metrów. Może.

Pierwsza brygada obrabiała 0,6 ha dziennie, czyli powiedzmy 60 m na 100 albo 20 na 300. Na jedną osobę to było 20 na 30 metrów. Praca w polu jest ciężka, ale wydaje mi się, że na dzień pracy to niewiele. Nic dziwnego, że druga mogła pracować o wiele szybciej. Ale to jest inne zagadnienie: jak dalece realistyczne mają być zadania. Potrzebny jest tu pewien umiar. Spotkałem się kiedyś z zadaniem, w którym na pomalowanie blatu stolika potrzeba było 40 kg farby. Spotkałem się kiedyś z zadaniem o samolocie, gdzie było wyjaśnienie: opór powietrza pomijamy”. Natomiast nie ma już zadań o statkach, które płyną z Warszawy do Gdańska. Nie przeskoczą tamy we Włocławku, a przez kilka letnich miesięcy mogłyby szorować po dnie.

Możemy uwspółcześnić zadanie o dzielnych brygadach rolniczych, na przykład tak:

Przy budowie dwóch tuneli metra w Krakowie użyto dwóch różnych technologii. Ekipa drążąca tunel metodą tradycyjną wydrążyła 60 metrów, a druga, która zastosowała TBM (Tunnel Boring Machine) – o 10 metrów mniej, ale pracowała o 5 tygodni krócej. Technologia TBM pozwala na drążenie o 4 metry tygodniowo więcej. Sprawdź, czy podane tu dane są realne, następnie ułóż w miarę sensowne pytania do tego zadania, no i oczywiście je rozwiąż.

Zwróćmy uwagę na pewną „wartość dodaną”. W zadaniu tradycyjnym była nią propaganda PGR-ów. W tym o krakowskim metrze (którego ja nie doczekam) – sprawdzenie, jak szybko można się z taką pracą posuwać. Obliczenia w dzisiejszych czasach to już pikuś – o czym będzie przy końcu artykułu.

Wrócę do klasyki szkolnych zadań. Lubię zadania o pociągach i w ogóle pociągi. Czy widzicie, Czytelnicy, że mamy tu klasyczne zadanie o pociągach? Nie wierzycie, proszę:

Na linii kolejowej ABC odległość między A i C wynosi 600 km, a od stacji B do stacji C o 100 km mniej. Z stacji A wyjechał pociąg osobowy w kierunku C, a w pięć godzin później wyjechał pospieszny z B do C. Pospieszny jedzie o 40 km na godzinę szybciej niż osobowy. Do stacji C przyjeżdżają jednocześnie…. Pytania ułóż sam.

Czy to nie to samo zadanie, co buraczane? Oczywiście to samo. Inna fabuła, ale ta sama treść matematyczna. Hans Freudenthal nazywał je izomorficznymi.

Odpowiedź: pociąg osobowy z Ameliówki wyjeżdża o 6.00 i jadąc z prędkością 60 km/h, jest o 7.40 w Burakowie w B. Pospieszny wyjeżdża z Burakowa dopiero o 11 i jedzie z prędkością 100 km/h. Obydwa przyjeżdżają do C o 16.00. Wykres pokazano na rysunku 2.

2.

Ale wróćmy do rysunku 1. Możemy spojrzeć na niego inaczej. Napełniamy basen wodą. Pierwsza pompa jest mniej wydajna, ale pracuje o 5 godzin dłużej… Ułóż zadanie.

3.

Z takimi analogiami jednak trzeba uważać – a zwróciłem na to uwagę, gdy latem zamknięto pływalnię, gdzie chodziłem regularnie. Normalna przerwa technologiczna – wymiana wody. Zamieńmy zatem w zadaniu wlew na odpływ wody. Ułoży się nam mniej więcej takie zadanie: gdyby był otwarty jeden odpływ, basen opróżniłby się w tyle a tyle godzin, a gdyby drugi, to w tyle a tyle. Po jakim czasie opróżni się basen, gdy są otwarte obydwa? 

Dlaczego nie jest to dobre zadanie? Dlatego, że woda wypływa z niejednostajną prędkością: im jej jest więcej, tym szybciej wypływa – pod własnym ciśnieniem. To tak, jakby w zadaniu o locie samolotem dopisać: opór powietrza pomijamy! Ale zadanie można uratować, zamieniając otwory w dnie na pompy.

Jakie jeszcze motywy występują (występowały) w klasycznych zadaniach tekstowych? Oczywiście: mieszamy cukierki droższe z tańszymi… Wobec tego słodkie zadanie dla Czytelników: „przerobić buraki na cukierki”. Gyorgy Polya sformułował to tak: edukacja matematyczna ucznia jest niepełna, gdy nie rozwiązał problemu przez siebie ułożonego. 

Ale ja pójdę jeszcze dalej. Zamiast: „uczniu, rozwiąż zadanie, które ja ci daję” będzie: „uczniu, masz oto odpowiedź i ułóż z tego zadanie”. Z takim podejściem mają kłopoty i nauczyciele – są zaskoczeni tym odwróceniem kolejności działań. A to będzie dopiero kształcące. W XXI wieku obliczenia wykona za nas „on” – komputer. Wciąż jeszcze mamy nad „nim” pewną przewagę. Nie dajmy się prześcignąć. Gdy piszę ten tekst, nasza kolarka, o matematycznym nazwisku Katarzyna Niewiadoma, wygrywa właśnie Tour de France. Też się nie dała prześcignąć.

Spółdzielnia „Burak z o.o”. zamówiła w zakładach „Cukierkopol” cukierki dla dzieci przodowników pracy. Przysłano 10 paczuszek cukierków „Pysznych” (każda paczuszka 60 dag) dag, w cenie 6 zł za kilogram i 5 paczek „Przepysznych” (każda 1 kg), po 10 zł za kilogram. Wartość przesyłki wyniosła zatem 86 zł, ale do tego doliczono 12% za doręczenie. Zapłacono więc 96 zł 32 grosze. Z natłoku tych danych ułóż kilka sensownych zadań. Potraktuj to również jako ćwiczenie w posługiwaniu się arkuszem kalkulacyjnym.

A oto następne wariacje wyjściowego zadania. Wróćmy do brygad buraczanych.

1. Trzeciego dnia jednego z pracowników brygady oddelegowano do innej pracy, a mianowicie do grabienia łąki. Brygada postanowiła, że zwiększy wydajność pielenia i przerywania, aby zdążyć na czas. O ile procent musi zwiększyć tę wydajność?
2. Piątego dnia pracownik powolnej brygady się zdenerwował: „Ja się staram, a wy się lenicie – a płacą nam wspólnie. Ja chcę więcej zarobić, przenoszę się do grupy robotnych”…
   
   

Teraz na poważnie. Nie lubię polityki i polityków – z niewieloma wyjątkami. Gdyby kazano mi zostać politykiem albo przyczyniać się do oczyszczania miasta ze śmieci, wybrałbym to drugie. Śledzę pobieżnie, co się dzieje na scenie politycznej, ale doceniam pracę ekspertów: chcemy wdrożyć program socjalny, np. „Dziadek Plus”. Jak wyliczyć, ile to będzie kosztować?

Może właśnie trzeba trenować na zadaniach o burakach, pociągach, basenach i cukierkach – żeby potem nie było gorzko?

Zwrócę jeszcze uwagę na inne zadanie z omawianego zbiorku – arcyciekawe, ale nie ze względu na treść matematyczną:

Kurnik z drzewa według planu radzieckiego konstruktora Jagodina ma dach dwuspadowy, który w przekroju poprzecznym pionowym (prostopadłym do długości) jest trójkątem równoramiennym o bokach 350, 350 i 506 cm. Pod jakim kątem dach ten jest nachylony do poziomu?

Odpowiedź (podana w zbiorku): 43°43’. Sprawdziłem, zgadza się. Rozwiązując to zadanie, myślałem o przodujących radzieckich konstruktorach: od kurnika do rakiety Gagarina. Choć to nie należy do tematu kącika matematycznego, przytoczę jednak rezultat mojego poszukiwania tego architekta drobiowego (chatGPT):

***

I jeszcze refleksja. Jest słodko-kwaśna, jak sos do spaghetti. Książeczka z zadaniami, z której wziąłem to buraczane zadanie, pochodzi z roku 1965 i jest to jej czwarte wydanie. Pierwsze było zatem trochę wcześniej. Od tego czasu Gagarin poleciał w kosmos, a Amerykanie na Księżyc. W mojej rodzinie pojawiła się wkrótce pierwsza lodówka i pierwszy telewizor. Po następnych dziesięciu latach zobaczyłem pierwszy kalkulator elektroniczny, a po kolejnych dziesięciu komputer osobisty. Jeszcze kilka lat i zainstalowano mi w mieszkaniu telefon (stacjonarny, po 17 latach oczekiwania), którego szybko przestaliśmy używać, bo wyparły go komórki. Aha, jeszcze do Polski dotarła najpierw coca-cola, potem chipsy i fast food. Zanikły, zmieniły znaczenie albo stały się staromodne niektóre słowa: kałamarz, kleks, bibuła, wieczne pióro, cerować, palto. I tak dalej.

Dlaczego o tym piszę? A to dlatego, że zaciekawiło mnie, czy zdanie o dwóch dzielnych brygadach rozwiąże chatGPT albo inna, podobna aplikacja sztucznej inteligencji. Musiałem się mocno przytrzymać, żeby nie spaść z krzesła z wrażenia – i komunikuję to Czytelnikom, którym też polecam „rozmowę” z AI o dwóch brygadach, walczących z burakami w polskim „kołchozie” niełatwych lat sześćdziesiątych XX wieku.

***

Wziąłem inny zbiór zadań, sprzed blisko 70 lat, Jerzy Petroniuk, „Zadania z matematyki dla szkół zasadniczych i techników górniczych”, PWSZ, 1956. Autor na pewno znał się na rzeczy – zadania nie są tak sztuczne, jak te rolnicze.

Oto jednak zadanie pierwsze:

Na jednym napędzie może pracować 65 m.b. rynien potrząsalnych. Ile napędów należy zainstalować dla ściany o długości 195 metrów?

Uczyłem kiedyś w liceum, w warszawskim XIV LO i dawałem uczniom, licealistom, właśnie to zadanie. Większość uczniów od razu pytała, czym są te rynny potrząsalne („jak mogę rozwiązać zadanie, skoro nie rozumiem treści?”). Ale ci bardziej bystrzy podawali od razu właściwą odpowiedź: trzy. Nie wątpię, że wszyscy Czytelnicy też na tę odpowiedź od razu wpadli, a dopiero potem zapytali AI, co to za rynny. Swoją drogą, ciekawe.

Nad drugim zadaniem siedziałem bardzo długo, bo na górnictwie się nie znam. Mam nadzieję, że udało to mi się zrozumieć. Jeżeli moja interpretacja jest poprawna, to zadanie jest łatwe (4).

W pokładzie węgla grubości 1,2 m drążymy chodnik szerokości b=2,5 metra z przybierką stropu w kształcie sklepienia. Jaka musi być strzałka sklepienia, aby kamienia wystarczyło na ułożenie pasów posadzkowych obok chodnika? Stosunek szerokości a pasa posadzkowego do szerokości b chodnika jest 2:3, współczynnik rozluzowania skały jest równy 2. Wskazówka. Sklepienie w górotworze przybiera kształt paraboliczny (teoria Protodiakonowa). Pole przekroju sklepienia obliczymy ze wzoru

gdzie b jest rozpiętością, a x strzałką sklepienia. 

Moje trudności z tym zadaniem wzięły się z (chyba niewłaściwego) zrozumienia pojęcia „pas posadzkowy”. Ale i tak mam wątpliwości: po co drążyć owe pasy posadzkowe, żeby je zaraz wypełniać kamieniami? Może tak trzeba, nie wiem. Natomiast współczynnik rozluzowania skały równy 2 to pewnie znaczy, że np. z 1 jednego metra sześciennego powstają 2 metry sześcienne luźnych kamieni. Czy mam rację? 

4.

Natomiast nie udało mi się zrozumieć następnego zadania i zastanawiam się, czy rozumieli je uczniowie szkół górniczych sprzed blisko 70 lat.

Ściana długości AC=200 metrów jest nachylona względem chodnika przewozowego pod kątem α=75o42’. Odległość AB jej końca a od filaru ochronnego mierzona wzdłuż chodnika przewozowego wynosi 158,65 metra. Ściana zetknęła się swoim górnym końcem z granicą filaru ochronnego w punkcie C. W ten sposób utworzył się trójkąt ABC. Oblicz: a) długość granicy filaru ochronnego BC; b) objętość pokładu zawartego między frontem ścianowym, chodnikiem przewozowym a granicą filaru ochronnego, jeżeli grubość pokładu wynosi h=1,65 metra; c) ciężar tej ilości materiału, jeżeli jego ciężar właściwy
jest równy 1,5 T/m³.

Mogę jednak spróbować rozwiązać, nie rozumiejąc. Mamy trójkąt ABC, w którym znamy długości dwóch boków i kąt. Który kąt? Z kontekstu wynika, że jest to kąt między AB i AC. To klasyczne zadanie trygonometryczne „tamtych” lat: „rozwiązać trójkąt” – czyli mając trzy jego elementy, wyznaczyć pozostałe trzy (kąty i boki). Potrzebne były tablice – wyznaczenie sinusa kąta podanego z dokładnością do minuty wymagało biegłości w posługiwaniu się nimi. Długość boku BC wyznaczamy z „uogólnionego wzoru Pitagorasa”, twierdzenia cosinusów. Pole trójkąta ABC obliczymy ze wzoru

Dalej, nie rozumiejąc treści, zastanowię się, jak można obliczyć objętość. Pamiętam, że to jest zadanie „szkolne” i powinna to być jakaś prosta bryła. Przychodzi mi na myśl tylko graniastosłup o podstawie trójkątnej. Jeżeli tak, to rozwiązałem zadanie, bo przecież wiem, jak obliczyć objętość graniastosłupa. Ciężar zaś obliczę, mnożąc objętość przez ciężar właściwy materiału. Wyszło mi 38000 ton. „Okrągłość” tej liczby sugeruje, że może to jest dobra odpowiedź. Ale ja naprawdę tego nie rozumiem.

I teraz ważny komentarz. Rozwiązałem zadanie często spotykaną metodą uczniowską (niestety i studencką): podstaw dane do byle jakiego wzoru i obliczaj tak długo jak możesz. Gdy zaplączesz się zupełnie, podkreśl na czerwono ostatnio otrzymaną liczbę i uznaj to za końcową odpowiedź.

Potem znowu pomyślałem: a co na to AI? Wpisałem zadanie. Myślała nad nim dość długo, chyba z 10 sekund i dostałem odpowiedź (inną, 33177 ton), ale widać było, że też nie rozumie treści. A może ktoś z Czytelników zabierze głos na ten temat? 

Michał Szurek