Matematycy i maszyny

Wielu ludzi uważa, że do konstrukcji maszyn matematycznych ? a już z pewnością komputerów ? przyczynili się jedynie inżynierowie. Jest to nieprawda, od samego początku trudny do przecenienia wkład w to dzieło mieli matematycy. I to ci zajmujący się w zasadzie wyłącznie teorią. Prawdę mówiąc, niektórzy z nich nie mieli bladego pojęcia, że ich odkrycia znajdą kiedykolwiek zastosowanie tak przyziemne, jak budowa jakichś tam liczydełek?

Dziś opowiem o dwóch matematykach z czasów nieco dawniejszych. Jednego jeszcze (czyli Johna von Neumanna), bez którego prac i pomysłów pewno w ogóle nie powstałyby komputery, zostawiam sobie na później; jest zbyt wielki i zbyt ważny, aby łączyć go z innymi w jednej opowieści. Tych dwóch łączę także dlatego, że byli serdecznymi przyjaciółmi, choć dzieliła ich pewna różnica wieku.

Alternatywa i koniunkcja

Ale i ci dwaj są nie są mniej zasłużeni niż Neumann. Zanim jednak dojdziemy do ich biografii proponuję proste zadanie. Weźmy pod uwagę jakiekolwiek zdanie złożone z dwóch zdań podrzędnych połączonych spójnikiem lub (takie zdanie, kto nie pamięta, to alternatywa). Powiedzmy: dziś jest środa lub pada deszcz. Zadanie brzmi: zaprzeczyć temu zdaniu. Co to zatem znaczy: nieprawda, że dziś jest środa lub teraz pada deszcz?

Otóż reguła jest taka: spójnik lub zamienimy na i i zaprzeczymy zdania składowe, zatem: dziś nie jest środa i teraz nie pada deszcz.

Nietrudne. No to spróbujemy zaprzeczyć zdaniu złożonemu z dwóch zdań połączonych spójnikiem i (znów, kto nie pamięta terminu: koniunkcja). Na przykład: kocham się w Ani i nie lubię piwa. Reguła podobna, czyli i zamieniam na lub, zdania składowe ? zaprzeczam; otrzymujemy więc: nieprawda, że kocham się w Ani i nie lubię piwa, znaczy dokładnie to samo, co nie kocham się w Ani lub lubię piwo.

Ogólnie: (1) zaprzeczeniem alternatywy jest koniunkcja zaprzeczeń i (2) zaprzeczeniem koniunkcji jest alternatywa zaprzeczeń. To są ? szalenie ważne ? dwa prawa de Morgana dla rachunku zdań.

Wątły arystokrata

Augustus de Morgan, pierwszy ze wspomnianych na wstępie matematyków, autor tych praw, urodził się w Indiach w 1806 roku jako syn oficera brytyjskiej armii kolonialnej. W latach 1823?27 studiował w Cambridge ? i zaraz po ukończeniu studiów został profesorem w tej wspaniałej uczelni. Był młodzieńcem wątłym, nieśmiałym i niezbyt bogatym, ale niebywale sprawnym intelektualnie. Wystarczy powiedzieć, że napisał i opublikował 30 książek o matematyce i ponad 700 artykułów naukowych; jest to dorobek imponujący. Wśród jego uczniów było wielu ówczesnych ? jak byśmy dziś powiedzieli ? celebrytów i prominentów. Między innymi córka wielkiego romantycznego poety lorda Byrona ? słynna Ada Lovelace (1815?1852), uważana dziś za pierwszą w historii programistkę (pisała programy do maszyn Charlesa Babbage?a, o którym jeszcze opowiem). Nawiasem mówiąc, popularny język programowana ADA nazywa się tak na jej cześć?

[caption id="attachment_4090" align="aligncenter" width="249" caption="Rysunek: Augustus de Morgan."][/caption]

Prace de Morgana (zmarł stosunkowo młodo w 1871 roku) stanowiły początki umacniania logicznych podstaw matematyki. Natomiast jego wymienione powyżej reguły znalazły piękną realizację elektryczną (a potem elektroniczną) w konstrukcji bramek logicznych, które stanowią podstawę działania każdego procesora.

[caption id="attachment_4089" align="aligncenter" width="240" caption="Rysunek: Ada Lovelace."][/caption]

Przy okazji. Jeśli zaprzeczamy zdaniu: istnieje takie x, że zachodzi związek f(x) ? dostajemy zdanie: dla żadnego x związek f(x) nie zachodzi. Podobnie, jeśli zaprzeczamy zdaniu: dla każdego x zachodzi związek f(x), to otrzymujemy zdanie: istnieje takie x, dla którego związek f(x) nie zachodzi. To też prawa de Morgana, tyle że dla rachunku kwantyfikatorów. Co ciekawe ? ale nie ma tu miejsca, by to pokazać ? jest to proste uogólnienie praw de Morgana dla rachunku zdań?

Piekielnie zdolny syn szewca

Mniej więcej współcześnie z de Morganem żył drugi z naszych bohaterów, czyli George Boole. Boole?owie byli rodem drobnych farmerów i kupców z północno-wschodniej Anglii. Rodzina nie wyróżniała się niczym szczególnym aż do pojawienia się na świecie Johna Boole?a, który ? choć był tylko zwykłym mistrzem szewskim ? rozmiłował się w matematyce, astronomii i? muzyce do tego stopnia, że jako szewc? zbankrutował. Otóż temu Johnowi w 1815 roku urodził się syn George (czyli Jerzy).

Gdy tata zbankrutował, małego George?a trzeba było zabrać ze szkoły. Matematyki ? jak się okazało, z powodzeniem ? uczył go sam ojciec; ale nie był to pierwszy przedmiot, który mały Jurek opanował w domu. Najpierw była łacina, potem języki: grecki, francuski, niemiecki i włoski. Ale największy sukces dało uczenie chłopca matematyki właśnie: już w wieku 19 lat chłopak opublikował ? w ?Cambridge Mathematical Journal? ? pierwszą własną poważną pracę z tej dziedziny. Potem przyszły następne.

[caption id="attachment_4091" align="aligncenter" width="245" caption="Rysunek: George Boole."][/caption]

W rok później George, nie mając przecież żadnego formalnego wykształcenia, otworzył własną szkołę. A w 1842 poznał de Morgana i zaprzyjaźnił z nim.

De Morgan miał wtedy pewne kłopoty. Jego pomysły były wyśmiewane i ostro krytykowane przez zawodowych filozofów, którym w głowie się nie mieściło, że oto matematyk zaczyna mieć coś do powiedzenia w dyscyplinie uważanej dotychczas za gałąź czystej filozofii, czyli w logice (nawiasem mówiąc, większość współczesnych uczonych uważa dziś, że logika to tylko jedna z gałęzi czystej matematyki, z filozofią niemająca niemal nic wspólnego; oczywiście filozofów oburza to prawie tak samo, jak za czasów de Morgana?). Boole oczywiście wsparł przyjaciela ? i w 1847 roku napisał dziełko pod tytułem Analiza matematyczna logiki. Rozprawka ta okazała się przełomowa.

De Morgan docenił to dzieło. Kilka miesięcy po jego wydaniu dowiedział się o wolnym etacie profesora w świeżo powstałym Queen?s College Uniwersytetu Cork w Irlandii. Boole wystartował w konkursie na to stanowisko, ale odpadł, a konkurs nie został rozstrzygnięty. W jakiś czas potem przyjaciel pomógł mu swoim poparciem ? i Boole katedrę matematyki w tej uczelni jednak dostał; nie mając absolutnie żadnego formalnego wykształcenia ani w dziedzinie matematyki, ani w jakiejkolwiek innej?

Wiele lat później nieco podobna historia stała się udziałem naszego genialnego rodaka Stefana Banacha. Z kolei jego nauki przed objęciem profesury we Lwowie ograniczyły się do matury i jednego semestru studiów politechnicznych?

Wróćmy jednak do Boole?a. Rozszerzając swoje idee z pierwszej monografii, opublikował on w roku 1854 swoje głośne i klasyczne dziś dzieło Badanie praw myślenia? (tytuł zgodnie z ówczesną modą był znacznie dłuższy). W tym dziele Boole pokazał, że uprawianie rozumowań logicznych daje się w gruncie rzeczy sprowadzić do dość prostych ? choć wykorzystujących nieco dziwną arytmetykę (dwójkową!) ? rachunków. Dwieście lat przed nim podobną ideę miał wielki Leibniz, ale temu tytanowi myśli nie udało się doprowadzić sprawy do końca.

Kto jednak myśli, że świat padł na kolana przed dziełem Boole?a i zadziwił się głębią jego intelektu ? jest w błędzie. Wprawdzie od 1857 roku Boole był już członkiem Royal Academy i powszechnie szanowanym i znanym matematykiem, ale bardzo długo jego pomysły logiczne uważano za pewną ciekawostkę bez większego znaczenia. W gruncie rzeczy dopiero w roku 1910 wielcy uczeni brytyjscy Bertrand Russell i Alfred North Whitehead, publikując pierwszy tom swego genialnego dzieła Principia mathematica (Podstawy matematyki), pokazali, że pomysły Boole?a nie tylko mają istotny związek z logiką ? ale wręcz są logiką. Poza pomysłami George?a Boole?a logika klasyczna po prostu ? z niewielką przesadą mówiąc ? w ogóle nie istnieje. Klasyk logiki Arystoteles stał się z dniem druku Principiów tylko ciekawostką historyczną.

Przy okazji inna ciekawa informacja: około pół wieku później wszystkie twierdzenia opasłych Principiów przez wiele lat pieczołowicie dowodzone rachunkiem Boole?a ? w ciągu ośmiu minut udowodnił, nie taki znowu na dzisiejszą miarę potężny, komputer sprytnie zaprogramowany przez pewnego genialnego chińskiego Amerykanina, Wanga Hao.

Swoją drogą, Boole miał trochę szczęścia: gdyby zdetronizował Arystotelesa trzy wieki wcześniej, pewno by spłonął na stosie.

A potem okazało się, że tak zwane algebry Boole?a ? to nie tylko niezwykle ważny i bogaty, do dziś rozwijany dział matematyki, ale też podstawa logiczna konstrukcji maszyn matematycznych. Co więcej, twierdzenia Boole?a odnoszą się bez żadnej zmiany nie tylko do logiki, gdzie opisują klasyczny rachunek zdań, oraz do rachunku binarnego (w układzie liczenia, w którym używa się tylko dwóch cyfr ? zera i jedynki, stanowiącym podstawę arytmetyki komputerowej), ale także stosuje się je w powstałej znacznie później teorii mnogości. Okazuje się, że w tej teorii rodzina podzbiorów dowolnego zbioru może być traktowana jak algebra Boole?a właśnie.

Boole ? podobnie jak de Morgan ? był słabego zdrowia. Powiedzmy też uczciwie, że o to zdrowie wcale nie dbał: pracował zbyt dużo i zbyt intensywnie, w dodatku był nadzwyczajnie sumienny. 24 października 1864 roku, gdy szedł na swój wykład ? potwornie zmókł. Nie chcąc opóźniać zajęć, nie przebrał się ani nie osuszył. Skutkiem było ciężkie przeziębienie, zapalenie płuc i śmierć w kilka miesięcy później. Zmarł w wieku ledwie 49 lat.

Boole był żonaty z Mary Everest, o 17 lat młodszą od niego córką słynnego brytyjskiego podróżnika i geografa (tak, tak ? tego od najwyższej góry świata). Romans ? zakończony niezwykle udanym małżeństwem ? rozpoczął się od? korepetycji z akustyki, której uczony udzielał pięknej pannie. Miał z nią pięć córek, z których trzy zasłużyły na miano wybitnych: Alice została świetną matematyczką, Lucy była pierwszym w Anglii profesorem chemii, Ethel Lilian zdobyła uznanie w swoich czasach jako pisarka.