Narzędzia matematyczne dla ucznia: GeoGebra (7)

I znowu nowości: pojawiła się wersja 4.2 GeoGebry, w dniu pisania tego tekstu jeszcze jako beta, ale działająca w zasadzie bez problemów. No i mamy kolejne udoskonalenia, nakazujące wręcz zadanie sobie pytania ?do czego to dojdzie?? ? bo program staje się coraz potężniejszy, a jego możliwości dydaktyczne (uwaga, nauczyciele!) rosną wprost niesłychanie. Mało tego: dostępna dla chętnych (i odważnych, bo to jeszcze bardzo wczesna wersja) jest już GeoGebra 5.0, też oczywiście beta, obsługująca geometrię 3D; nie zalecam jednak instalacji, bo nie jest zupełnie banalna. W wersji 5.0 będziemy mieli naturalnie możliwość konstruowania i badania brył i powierzchni, do dyspozycji polecenia trójwymiarowej geometrii analitycznej, zostaną także udoskonalone polecenia dotychczasowe i pojawią się zupełnie nowe dla geometrii płaskiej. GeoGebra 5.0 będzie jednak wymagała posiadania w komputerze najnowszej wersji pakietu Java. Co zatem jeszcze nowego w GG 4.2? Kinect. Umożliwienie użycia tego nowatorskiego sprzętu, to jedna z głównych nowości Geogebry 4.2 (przypominam: Kinect to ? zgodnie z Wikipedią - urządzenie wejściowe, czujnik ruchu dla konsoli Xbox 360, wyprodukowane przez Microsoft. Urządzenie pozwala użytkownikowi na interakcję z konsolą bez konieczności używania kontrolera, poprzez interfejs wykorzystujący gesty wykonywane przy pomocy kończyn i całego ciała, jak i przez komendy głosowe.

Kinect został wprowadzony do handlu 4 listopada 2010 w Ameryce Północnej, 10 listopada 2010 w Europie, 18 listopada 2010 w Australii, Nowej Zelandii i Singapurze oraz 20 listopada 2010 w Japonii.

Kinect został wpisany do księgi rekordów Guinnessa jako "najszybciej sprzedające się urządzenie elektroniki konsumenckiej", po tym, jak w przeciągu pierwszych 60 dni został sprzedany w ilości przekraczającej 8 milionów egzemplarzy. 9 stycznia 2012 roku ilość sprzedanych urządzeń przekroczyła liczbę 18 milionów).

Otóż możliwe jest teraz połączenie tego urządzenia z programem ? w wyniku sylwetka człowieka zostaje zamieniona w schematyczny ?szkielet? i ruchy zapisane w postaci animacji. Jak to działa - można zobaczyć tutaj. Aby to było możliwe, Kinect powinien być podłączony do komputera przez port USB; kupując zatem to urządzenie trzeba zwrócić uwagę, by miało ono odpowiednie złącze (nie wszystkie mają).

Pomysł jest ? moim zdaniem ? fajny, ale chwilowo nie widzę dla niego jakichś godnych uwagi zastosowań dydaktycznych ani naukowych. Ale może Szanowni Czytelnicy ?Młodego Technika? coś wymyślą?

Przy okazji warto zauważyć, że GeoGebra ma teraz na YouTube własny kanał, co bardzo ułatwia zapoznawanie się z tym świetnym programem.

Różne nowe narzędzia i możliwości

Nowe narzędzie programu FreeHand (?Odręcznie?) pozwala ręcznie naszkicować wykres funkcji. Po utworzeniu funkcji f tą metodą można obliczyć jej wartość w określonym punkcie, umieścić punkt na wykresie lub wykonywać pewne przekształcenia.
Do zestawu obsługiwanych funkcji matematycznych doszły funkcje Digamma i, ogólniej, Poligamma. Mniejsza o to, jaki jest ich sens matematyczny (znajomość tych tworów z pewnością nie wchodzi do programu nauczania w szkole średniej, a i studiując matematykę wyższą zetknie się z nimi zgoła nie każdy?) ? wprowadzenie jednak ich do ?jadłospisu? GeoGebry wskazuje, że twórcy programu dążą do zrobienia z niego naprawdę potężnego narzędzia z dziedziny tzw. algebry komputerowej. Wyłącznie dla celów poglądowych zamieszczam tu zobrazowanie jednej z funkcji typu poligamma na płaszczyźnie zespolonej; niebrzydki ten wykres, prawda? Nie mogę się też oprzeć chęci poinformowania Czytelnika, że funkcje te mają ścisły związek ? na co zresztą wskazuje ich nazwa ? ze słynną funkcją gamma Eulera, ?(x), która z kolei stanowi uogólnienie na liczby rzeczywiste i zespolone pojęcia silni. No, a silnia ? n! - w wypadku liczb naturalnych, to taki oto iloczyn:

n! = 1. 2. 3. ? n

i mamy dla wszystkich n naturalnych związek taki ?(n) = n! Ale już ?(1/2) = ?

[caption id="attachment_5363" align="aligncenter" width="300" caption="Jedna z funkcji polygamma"][/caption]

W wierszu poleceń programu można teraz używać kilku nowych komend. Wśród nich są komendy obsługujące tworzenie i rozszyfrowywanie kodów paskowych, używanych powszechnie w handlu.
Można już (dotyczy to także wersji 4.0, nie tylko zasygnalizowanej tu bety) badać za pomocą GeoGebry nierówności; na razie tylko linowe i kwadratowe. Poniżej przykład; rozwiążemy graficznie nierówność

Wprowadzamy do wiersza poleceń naszą nierówność, naciskamy klawisz ENTER i oto wynik:

[caption id="attachment_5364" align="aligncenter" width="300" caption="Rozwiązywanie nierówności kwadratowych"][/caption]

Jak widać, badana funkcja pojawia się w oknie algebry (po lewej stronie), zaś w oknie grafiki widzimy zobrazowanie wyniku obliczeń.

Za pomocą GeoGebry można dokonywać obliczeń na liczbach zespolonych. Kto nie wie ? liczba zespolona jest to liczba postaci a + bi, gdzie symbol i oznacza coś takiego, że i.i = -1.

Wiem, wiem: nie ma takiej liczby rzeczywistej, której kwadrat jest ujemny. Ale zauważcie, że właśnie nazwałem owo cudo ?czymś takim?, a nie liczbą. Owo tajemnicze i nazywa się często ?jednostką urojoną? ? przy czym mnie się ta nazwa bardzo nie podoba, z uwagi na konotację słowa ?urojona?, sugerującą, że dany obiekt nie istnieje. Ale ? jeśli umówimy się, że coś, co da się skonstruować geometrycznie istnieje jak najbardziej ? to i ową ?jednostkę urojoną? i opisane wyżej liczby zespolone właśnie da się skonstruować. Po prostu umawiamy się, że liczbie zespolonej a + bi odpowiada punkt płaszczyzny o współrzędnych a, b. Dodatkowo umawiamy się, że dwie liczby a + bi oraz c + di sumujemy tak:

(a + bi) + (c + di) = (a + b) + (c +d)i

Zaś mnożymy tak

(a + bi) (c + di) = (ac ? bd) + (ad + bc)i

Spójrzmy na zrzut ekranu:

[caption id="attachment_5365" align="aligncenter" width="300" caption="Działania na liczbach zespolonych"][/caption]

Jak widać, zacząłem od ustalenia dwóch liczb zespolonych (obiekty swobodne w oknie algebry): a=1+i oraz b=2-3i. Następnie w dolnym okienku poleceń wpisałem odpowiednie działania; wystarczało oczywiście używać oznaczeń symbolicznych a i b. Oznaczenia na wyniki przyjmował już program samodzielnie; i tak z = a + b, w = a ?b i tak dalej. Równolegle do wyliczeń numerycznych, prowadzonych w oknie algebry ? w oknie widoku geometrycznego pojawiają się interpretacje graficzne wszystkich obiektów i działań.

Warto zwrócić uwagę (poleciłem programowi nakreślić odpowiednie odcinki), że sumę dwóch liczb zespolonych uzyskuje się jako odpowiedni wierzchołek równoległoboku, zbudowanego na początku układu współrzędnych i punktach a i b. Ciekawy jest też punkt z₂ (niewidoczny w części graficznej, ale wyliczony w okienku algebry; to wynik działania b^a; tak więc program potrafi podnosić liczby zespolone do potęgi zespolonej; to też da się zdefiniować, ale już nie będę męczył Czytelnika w tym miejscu szczegółami.

I jeszcze jedna umiejętność: od wersji 4 GeoGebra posługuje się rachunkiem zbiorów. Potrzebne symbole (zawieranie, przynależność, suma, część wspólna) i tak dalej znajdziecie w prawym dolnym rogu ekranu, pod taką malutką ikonką z grecką literą ?, która pojawi się tylko wówczas, gdy kursor znajdzie się w polu wiersza poleceń. Używając tych symboli możemy łatwo odpowiedzieć na przykład na pytanie, czy dany zbiór (być może, zapisany w jakiejś skomplikowanej formie) zawiera się w innym (odpowiedź programu jest false lub true w oknie algebry), możemy też naturalnie wykonywać działania na zbiorach.

Na koniec pożyteczna informacja: pod adresem www.geogebratube.org mamy bogaty ? i stale powiększany ? zbiór przykładów i zadań rozwiązanych z pomocą GeoGebry.

Oto zrzut (jednej klatki) z animowanej demonstracji pięknego dowodu twierdzenia Pitagorasa, pobranej właśnie z ?tuby?:

[caption id="attachment_5366" align="aligncenter" width="235" caption="Piękny dowód tw. Pitagorasa"][/caption]

Na tym kończę zachwalanie GeoGebry i namawiam Czytelników do samodzielnego badania możliwości tego niesamowitego programu. Poczekamy teraz na GG 5.0, zaś za miesiąc zajmiemy się czymś zupełnie innym.

GeoGebra bywała krytykowana za to, że z wersji na wersję jej interfejs się komplikował i ostatnio przekraczał już możliwości percepcyjne przeciętnego ucznia niższych klas. Twórcy programu wzięli to sobie do serca i obecnie zgłasza się on do pracy z bardzo prostym i zrozumiałym zestawem poleceń, które jednak mogą być w znacznym stopniu modyfikowane i dostosowywane do umiejętności (i potrzeb) użytkownika. Nowością są tak zwane ?widoki?, czyli zestawy poleceń do wykonywania typowych zadań; niektóre z nich są predefiniowane czyli z góry przygotowane (jak np. widok ?Geometria Podstawowa?), ale można sobie tworzyć wedle potrzeb własne. Każdy taki zestaw ma swój specjalny pasek narzędzi i własną organizację okien. Nazwa ?widoki? została ? zauważmy ? dobrana przy tłumaczeniu na polski dość niefortunnie, powodując ukazanie się obok siebie w głównym pasku narzędziowym dwu opcji o bardzo podobnych nazwach; pamiętajmy więc, że pod nazwą Widoki kryją się w gruncie rzeczy specjalne paski narzędzi i układy okien; poniżej pasek dla geometrii podstawowej (czemu nie: elementarnej?) oraz pełny widok okien dla arkusza wraz z grafiką:

Zmiany w oknie grafiki, algebry i arkusza. W programie możemy teraz jednocześnie otworzyć dwa okna graficzne. Dostęp do tej możliwości daje menu widok; wybór Widok grafiki 2otwiera dodatkowe okno.

Łatwo pojąć, do czego może się to przydać. Jeśli chcemy na przykład analizować jakąś funkcję i jej pochodną jednocześnie, to drugie okno graficzne okazuje się jak znalazł; podobnie gdy badamy funkcję zależną od parametru. Możemy też jedno okno przeznaczyć na badanie płaszczyzny we współrzędnych prostokątnych, drugie zaś ? w biegunowych. W sumie ? wygoda.Mniejsza rewolucja nastąpiła w oknie widoku algebry, ale i tu zmiany są istotne. Równania i formuły można teraz wprowadzać w systemie LaTex, ponadto wektory i macierze są teraz w tym oknie wyświetlane dokładnie tak, jak to jest w normalnym druku. Co więcej, w menu Widok dostępna jest teraz wirtualna klawiatura, w której mamy nie tylko zwykły komplet znaków alfanumerycznych, ale także alfabet gracki oraz mnóstwo symboli matematycznych. Jak to ułatwia wykorzystywanie pola wprowadzania ? nie trzeba chyba tłumaczyć. Do dyspozycji są nawet znaki kwantyfikatorów oraz różne częściej używane operatory. W widoku arkusza kalkulacyjnego pojawiła się potężna funkcja. Kliknięcie dowolnej komórki, nawet pustej, zmienia interfejs, ukazując nowy ? przyznajmy, dość prosty, ale użyteczny ? pasek narzędzi:Zauważmy, że pod każdą z czterech ikon kryje się kilka narzędzi, przeznaczonych przede wszystkim do statystycznej analizy danych. W szkole mogą być użyteczne przede wszystkim te, które pozwalają szybko liczyć sumy i średnie.Kliknięcie prawym klawiszem myszki na obszarze arkusza uruchamia teraz menu podręczne z opcjami arkusza i prostymi poleceniami organizującymi jego budowę.Ważną funkcją arkusza jest możliwość łatwego importu i eksportu danych. Jeśli już mówiumy o eksporcie, to w programie w ogóle pojawiły się nowe możliwości; na przykład, animację można teraz wyeksportować jako animowany plik .gif, co umożliwia wykorzystanie odpowiedniego obrazka bez korzystania z Javy. Można również bezpośrednio z GeoGebry łatwo zbudować aplet dla Google, a także przekazać dane do popularnego w e-learningu systemu Moodle. Bardzo ciekawa oferta to GeoGebra Tube ? narzędzie ?w chmurze?, do którego można przekazywać dane. Narzędzie to umożliwia łatwe współdzielenie tworzonych arkuszy i pracę grupową.Ważna i wygodna zmiana zaszła w tworzeniu animacji. Suwak może teraz obsługiwać dowolne granice przedziału liczbowego, także dynamicznie zmienne. Można na przykład jako granicę zmian licznika jakiegoś wyrażenia ułamkowego ustawić zmienną wartość mianownika tego wyrażenia.To są tylko najważniejsze zmiany w programie. Pomniejszych udoskonaleń i nowych funkcji jest mnóstwo i ? co najważniejsze ? wciąż trwają prace nad dalszą rozbudową GeoGebry. Nie można jej jeszcze swobodnie używać na tabletach i w smartfonach (chyba że poprzez użycie on-line jej wersji sieciowej), ale odpowiednie wersje są w przygotowaniu. Przyznam, że czekam na nie z niecierpliwością, zwłaszcza na wersje do systemu Android. Zapewne pojawi się w tym roku.