Prawo Gaussa i jego zastosowanie
Zgodnie z tym prawem całkowity strumień pola elektrycznego przenikający przez dowolną powierzchnię jest równy stosunkowi ładunku ograniczonego tą powierzchnią do przenikalności elektrycznej ośrodka
Przypomnienie - strumień pola elektrycznego
W przypadku ogólnym strumień pola to wielkość skalarna, którą definiujemy jako iloczyn skalarny wektora natężenia pola oraz wektora powierzchni, przez którą dane pole przenika. Dotyczy to zarówno pola grawitacyjnego, magnetycznego, jak i elektrycznego. Oznaczając natężenie pola elektrycznego symbolem
przez którą przenikają
Zastosowanie prawa Gaussa
Dosyć łatwo stosuje się prawo Gaussa do rozkładu ładunku o rozkładzie symetrycznym. Aby wyznaczyć strumień pola, otaczamy naładowane ciało zamkniętą powierzchnią o takiej samej symetrii. Na przykład naładowaną kulę otoczymy sferą, a naładowany pręt - walcem. Powierzchnię taką nazywamy powierzchnią Gaussa.
Prawidłowy dobór powierzchni Gaussa jest bardzo istotny, ponieważ pozwala w znaczący sposób uprościć obliczenia. Jakkolwiek prawo to można stosować do dowolnego rozkładu ładunku przy dowolnie dobranej powierzchni, to w przypadku ogólnym rozwiązanie tego problemu wykracza poza możliwości uczniów. Wymagałoby to wprawy w posługiwaniu się rachunkiem całkowym.
W przypadku rozkładu symetrycznego wystarczy wyobrazić sobie, że dzielimy powierzchnię Gaussa na bardzo małe płaskie elementy. Pole powierzchni pojedynczego elementu wynosi ΔS, a wektor natężenia pola jest do niego prostopadły. Strumień indukcji możemy policzyć jako sumę strumieni cząstkowych
gdzie S jest całkowitym polem powierzchni Gaussa
Przykład 1 - ładunek punktowy
Punktowy ładunek o wartości Q umieszczamy w próżni. Aby znaleźć wartość natężenia pola w odległości od ładunku, otaczamy go sferą. Strumień pola elektrycznego jest w tej sytuacji równy iloczynowi natężenia pola oraz powierzchni sfery:
Przykład 2 – jednorodnie naładowany pręt
Jednorodnie naładowany pręt o gęstości liniowej ładunku równej umieszczamy w ośrodku o przenikalności elektrycznej równej . Aby znaleźć wartość natężenia pola, pręt otaczamy walcem o promieniu r i długości L.
Analogicznie jak powyżej, strumień pola elektrycznego jest równy iloczynowi natężenia pola oraz po-wierzchni bocznej walca i wynosi:
Po uwzględnieniu, że
oraz prostych przekształceniach dostajemy
Sprawdź swoją wiedzę – zadanie
Mamy dwie sfery: jedną o promieniu R1 = R, a drugą o promieniu równym R2 = 2R. Obie naładowane są takim samym ładunkiem o wartości Q, znajdującym się wyłącznie na ich zewnętrznych powierzchniach. Korzystając z prawa Gaussa, chcemy wyznaczyć natężenie pola elektrycznego wewnątrz tych sfer w odległości r < R od ich środków. Która z poniższych równości jest prawdziwa? Uzasadnij odpowiedź.
Dla nauczyciela
Niniejszy materiał może zostać wykorzystany na lekcji fizyki w liceum lub technikum w klasach realizujących podstawę programową w zakresie rozszerzonym do realizacji punktu VII.3 (uczeń) posługuje się wek-torem natężenia pola elektrycznego wraz z jego jed-nostką (…).
Ponieważ omówione zagadnienie wykracza poza wymagania zawarte w podstawie programowej, jest to propozycja dla uczniów zdolnych i zainteresowanych tematem.
Joanna Borgensztajn
