Zasady dynamiki Newtona, część 2 - co w nich trudnego?

Przykład zadania szkolnego wraz z jego analizą

Ciało o masie m postawiono na równi pochyłej o kącie nachylenia α i przymocowano do niego jeden koniec nierozciągliwej linki. Drugi koniec przymocowano do ciała o masie M. Następnie linka została przerzucona przez nieruchomy bloczek znajdujący się w górnej części równi w taki sposób, że ciało o masie M zawisło swobodnie. Gdy puszczono te ciała, okazało się, że ciało o masie m porusza się po równi w górę ze stałą prędkością. Wyznacz naciąg linki oraz współczynnik tarcia tego ciała o równię.

Aby rozwiązać zadanie, należy przede wszystkim dobrze opanować umiejętność ustalania sił działających w układzie fizycznym. W pierwszym kroku powinniśmy bardzo starannie narysować wszystkie siły działające na ciała o masach m i M. Zacznijmy od ich ciężaru. Ciężar ciała o masie m oznaczmy jako  a ciężar ciała o masie M – jako  Na ciało o masie działa również siła tarcia, którą oznaczamy na rysunku jako  Następnie zaznaczamy naciąg nici, oznaczając go symbolem

1. Rozwiązanie zadania rozpoczynamy od narysowania wszystkich sił działających
na oba ciała. Siły celowo nie zostały przyłożone w środkach ciał, żeby zachować
na rysunku nieco przejrzystości.

Nie należy przy tym zapominać o tym, że zgodnie z trzecią zasadą dynamiki siła naciągu działająca na oba ciała ma tę samą wartość. Zazwyczaj umyka to uwadze uczniów z powodu bloczka. Warto zauważyć, że bloczek zmienia jedynie kierunek linki, a przez to również kierunek działającej siły, ale nic więcej nie wnosi do rozwiązania.

Zatrzymajmy się na moment przy ważnej informacji podanej w zadaniu: ciała są połączone nierozciągliwą linką. Wynika z tego, że skoro ciało o masie m porusza się do góry po równi ze stałą prędkością, to z prędkością o tej samej wartości ciało o masie M porusza się w dół. To kolejna rzecz łatwa do przeoczenia w przypadku rozbudowanej treści. W następnym kroku zauważamy, że siły działające na każde z ciał muszą się równoważyć, skoro poruszają się one ruchem jednostajnym. Wynika to z pierwszej zasady dynamiki. Bez trudu dochodzimy do wniosku, że naciąg linki jest co do wartości równy ciężarowi ciała o masie M, czyli F_n=Q=Mg. Co jednak zrobić z siłami działającymi na drugie z tych ciał?

Na ciało o masie m działają trzy siły. Dwie z nich, czyli siła tarcia oraz siła naciągu nici, działają w tym samym kierunku, lecz mają przeciwne zwroty. Ciężar ciała (siła ciężkości) działa pionowo w dół, tworząc pewien kąt z kierunkiem działania wspomnianych poprzednio sił.

W kolejnym kroku rozkładamy ciężar ciała na składowe, tak jak na poniższym rysunku. Składowa prostopadła do powierzchni równi jest jednocześnie siłą nacisku, jaką wywiera ciało na równię, zatem oznaczamy ją jako  Przy okazji warto zauważyć, że jest ona równoważona przez siłę reakcji podłoża, którą zresztą pomijamy, aby uprościć rysunek. Składowa równoległa do powierzchni równi odpowiadałaby natomiast za samoistne zsuwanie się ciała w dół, gdyby nie było umocowane na lince, oznaczmy ją zatem

2. Ciężar ciała o masie rozkładamy na składowe. Uczniowie mogą dla ułatwienia
posłużyć się liniami pomocniczymi. Należy je poprowadzić w ten sposób,
aby utworzyć z nich prostokąt, którego przekątną będzie długość wektora 

Jak wynika z rysunku, suma siły tarcia oraz siły powodującej zsuwanie ciała jest równoważona przez naciąg nici. Mamy zatem F_n=T+F_z. Pamiętamy o tym, że siła tarcia jest równa iloczynowi współczynnika tarcia oraz nacisku ciała na równię: T=fN, gdzie f jest współczynnikiem tarcia (w niektórych podręcznikach współczynnik tarcia jest oznaczany literą μ). Dostajemy zatem F_n=fN+F_z z czego po prostych przekształceniach możemy wyznaczyć współczynnik tarcia jako

Wartość siły naciągu nici wyznaczyliśmy już w jednym z poprzednich kroków. Wartość składowych siły P znajdziemy, korzystając z funkcji trygonometrycznych kąta α, zauważając wcześniej, że trójkąty prostokątne utworzone przez ciężar ciała i jego składowe są podobne do trójkąta utworzonego przez boki równi. Ostatecznie wyrażenie na wartość współczynnika tarcia będzie miało postać

co łatwo można sprawdzić samodzielnie.

Dla nauczyciela

Zadanie rachunkowe, ze względu na stopień jego skomplikowania, jest odpowiednie do wymagań podstawy programowej w szkole ponadpodstawowej w zakresie rozszerzonym. Tego typu zadania warto wprowadzać dopiero na zakończenie działu dotyczącego zasad dynamiki, po upewnieniu się, że uczniowie radzą już sobie z zadaniami prostszymi.

Joanna Borgensztajn