Warunki równowagi ciał

Siła jako wielkość wektorowa 

Jeśli chodzi o wielkości skalarne (czyli liczbowe), takie jak na przykład masa, to są one stałe i niezmienne, niezależnie od tego, co dzieje się z danym układem fizycznym. Na przykład mogę nieść ze sklepu kilogram ziemniaków i pół kilo cebuli. Niezależnie od tego, czy idę poziomo po chodniku, wchodzę po schodach czy jadę pionowo windą – masa moich zakupów pozostaje taka sama. Nie jest także istotne, w którym kierunku się poruszam.

Zupełnie inaczej wygląda sytuacja, jeśli mamy do czynienia z wielkościami wektorowymi. W tym przypadku zachowanie układu fizycznego zależy od kierunku, zwrotu i wartości działającej siły wypadkowej. Na rysunku 1 przedstawiono ciało, na które równocześnie działają dwie siły o wartościach i , przy czym w każdym z zaprezentowanych przykładów siły te są względem siebie ustawione pod innym kątem.

1. Dodając dwa wektory, musimy uwzględnić ich kierunki oraz zwroty.
Wynik dodawania wektorów zależy nie tylko od ich wartości,
ale również od wzajemnego położenia.

Wynik dodawania sił 

w każdym z tych przypadków zapiszemy wektorowo jako

co nie oznacza, że mamy bezrefleksyjnie dodawać wartości sił tak, jakby były liczbami. Tego typu zapis (ze strzałkami nad symbolami sił) oznacza, że wartość wektora siły wypadkowej oraz kierunek jej działania wyznaczamy za każdym razem nieco inaczej.

W pierwszym z tych przypadków (lewa strona rysunku) obie siły działają w tym samym kierunku i mają zgodny zwrot. Efekty działania obu tych sił sumują się. Zatem wartość siły wypadkowej (czyli długość wektora) obliczymy jako

F_wyp = F₁ + F₂

Skoro zwrot obu sił jest zgodny, to siła wypadkowa działa pionowo w górę.

W drugim przypadku (środkowa część rysunku) siły 

działają wprawdzie w tym samym kierunku, ale ich zwroty są przeciwne. Skutki działania tych sił częściowo się znoszą. Tym razem wartość siły wypadkowej będzie wynosić

F_wyp = F₁ - F₂

Podobnie jak w poprzednim przykładzie siła wypadkowa jest skierowana do góry.

W ostatnim z zaprezentowanych przykładów wektory

tworzą kąt prosty. Z tego typu problemem radzimy sobie, konstruując prostokąt bokach równych długościom tych wektorów. Kierunek działania siły wypadkowej jest wówczas zgodny z kierunkiem przekątnej prostokąta przechodzącej przez punkt przyłożenia sił. Wartość siły wypadkowej obliczamy z twierdzenia Pitagorasa jako

Moment siły

W przypadku ruchu postępowego zachowanie ciała jesteśmy w stanie przewidzieć analizując siły działające na to ciało, a w zasadzie –  na jego środek ciężkości. Ciało jednak może również wykonywać ruch obrotowy względem wybranej osi. Aby ciało obracało się, musi mieć pewne wymiary geometryczne i nie możemy sprowadzić go do punktu materialnego. Z samej swojej definicji punkt materialny nie wykonuje ruchu obrotowego.

Jeśli odległość od wybranego punktu ciała do osi obrotu oznaczymy jako (jest to ramię siły), a wartość siły działającej na ciało i przyłożonej w tym punkcie w kierunku prostopadłym do ramienia oznaczymy jako , to możemy obliczyć wartość momentu siły ze wzoru

M = rF

Wzór ten nie będzie prawdziwy dla siły przyłożonej pod innym kątem niż kąt prosty. W klasie o profilu rozszerzonym można szerzej omówić to zagadnienie, posługując się pojęciem iloczynu wektorowego.

Odrobina historii

Zasady określające wpływ działających sił na ruch postępowy ciała opublikował w roku 1687 Isaac Newton, stąd też nazywamy je dzisiaj zasadami dynamiki Newtona. W tym miejscu skupimy się przede wszystkim na drugiej zasadzie dynamiki, która mówi, że wartość przyspieszenia ciała jest proporcjonalna do wartości wypadkowej siły działającej na to ciało. Zasadę tę zwykle zapisuje się w formie

F_wyp = ma

W późniejszych latach na podstawie analogii do zasad rządzących ruchem wzdłuż prostej sformułowano również reguły opisujące ruch po okręgu. Aby tego dokonać, należy zastąpić wielkościami dotyczącymi tego drugiego rodzaju ruchu wszystkie wielkości opisujące ruch postępowy. W ten sposób, zastępując siłę momentem siły, masę – momentem bezwładności, przyspieszenie liniowe – przyspieszeniem kątowym, dostajemy

M_wyp = I ∈

Jest to druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego.

Jeżeli przyjrzymy się uważnie tym dwóm wzorom, nasuwa się na myśl bardzo ważny wniosek. Otóż ciało o dowolnym kształcie, które znajduje się w spoczynku, pozostanie w równowadze, jeśli spełnione będą równocześnie dwa warunki: suma działających na to ciało sił wynosi zero oraz suma działających momentów sił wynosi zero. Tylko w tej sytuacji zarówno przyspieszenie liniowe, jak i przyspieszenie kątowe będzie wynosić zero. Skoro nie ma żadnego przyspieszenia, to spoczywające ciało nie zostanie wprawione w ruch: ani postępowy, ani obrotowy.

Szkolny problem z zadaniem

W ramach urozmaicenia dostało mi się jakiś czas temu do rozwiązania zadanie z Azorkiem. Otóż Azorek jest psem o masie M i trzyma w zębach kość, której masa wynosi z kolei m. Wymiary Azorka oraz położenie jego środka masy są znane, co ilustruje schemat przedstawiony na rysunku 2. Naszym zadaniem jest obliczenie sił reakcji podłoża działających na łapy pieska.

2. Na podstawie szczegółowych wymiarów psa musimy
policzyć siłę nacisku działającą na jego łapy.

Rozwiązanie zadania musimy zacząć od wypisania warunków równowagi ciała i niestety tego kroku nie ominiemy. Wszystkie siły oraz momenty sił działające na Azorka powinny się równoważyć. Z siłami nie będzie problemu i ten warunek zapiszemy w postaci

F₁ + F₂ = Q₁ + Q₂

Nieco więcej kłopotu będzie z rozpisaniem warunku równowagi dla momentów sił. Z mojego punktu widzenia najwygodniej oś obrotu umieścić na końcu ogona, ponieważ trudno się pomylić w tej sytuacji ze znakami momentów sił. Niemniej inne lokalizacje tego punktu powinny doprowadzić do tych samych wyników, może nawet upraszczając obliczenia w niektórych przypadkach.

Robiąc „po mojemu”, dostajemy następujące równanie:

x₁F₁ + (x₁ + x₂ + x₃)F₂ = (x₁ + x₂)Q₁ + (x₁ + x₂ + x₃ + x₄)Q₂

Żeby skrócić powyższy wzór, zapiszmy go jako

r₁F₁ + r₃F₂ = r₂Q1 + r₄Q₂

gdzie wartości od do obliczymy, sumując odpowiednie wymiary podane na rysunku. Warunek równowagi sił przekształcamy do postaci

F₁ = Q₁ + Q₂ - F₂

Po podstawieniu warunku równowagi sił do warunku równowagi momentów sił i wykonaniu prostych przekształceń dostajemy

Jeśli w zadaniu podano dane liczbowe, to wystarczy najpierw obliczyć wartość siły F₂, a następnie wartość siły F₁ i zadanie mamy rozwiązane. Proponuję każdemu samodzielne przekształcenie wzorów jako użyteczne ćwiczenie, choć nieco żmudne i niewdzięczne.

Dla nauczyciela

Największą trudnością w omówionym zadaniu jest prawidłowe wypisanie warunków na równowagę sił oraz na równowagę momentów sił. Drugim problematycznym krokiem jest wyprowadzenie wyrażeń na wartości sił nacisku podłoża na łapy. Ze względu na rozbudowane zadanie i szczegółowo podane wymiary ciała psa, bardzo łatwo tutaj o pomyłkę przy przekształcaniu wzorów oraz przy pod-stawianiu danych liczbowych.

Zadanie można rozwiązać na kilka sposobów, w zależności od tego, który punkt uznamy za oś obrotu ciała. Wszystkie te rozwiązania są równoważne i prowadzą do tego samego wyniku. Przy inaczej wybranej osi obrotu i tak powinniśmy dostać ten sam wynik, nawet jeśli wzór różniłby się od wyrażenia uzyskanego przedstawionym powyżej sposobem.

Jeśli jest taka możliwość, to warto na lekcji wygospodarować trochę czasu, aby pokazać przynajmniej dwa równoważne sposoby. Szczególnie dla uczniów przygotowujących się do matury z fizyki byłoby to cenne, choćby dlatego, że zadania otwarte są oceniane holistycznie i każde prawidłowe rozwiązanie prowadzi do uzyskania maksymalnej liczby punktów. 

Sprawdź, co potrafisz

Policjant próbuje dostać się do pomieszczenia, w którym ukrył się złodziej. W tym celu pcha drzwi siłą o wartości . Złodziej, znajdujący się z drugiej strony drzwi, również pcha je, ale siłą o wartości  i przeciwnym zwrocie do siły . Znajdź i zaznacz wszystkie sytuacje, w których policjantowi nie uda się otworzyć drzwi.

⬜ A. Siły   są co do wartości równe i przyłożone w tej samej odległości od zawiasów.
⬜ B. Siły  są co do wartości równe, ale siła jest przyłożona dalej od zawiasów niż siła 
⬜ C. Wartość siły wynosi 120% wartości siły  ale ramię tej siły wynosi 80% ramienia siły
⬜ D. Wartość siły wynosi 75% wartości siły  ale ramię tej siły wynosi 150% ramienia siły

Joanna Borgensztajn

Odpowiedź do zadania: A, C