Stare zadania

Być może niektórzy Czytelnicy spostrzegli, że od jakiegoś czasu opisuję swoje wrażenia z podróży po Europie (Kraków, Wrocław, Gdynia, Ostrołęka, Konin, Kalisz Pomorski itp.). Spotykam się z nauczycielami, uczniami i rodzicami - chciałbym być wszędzie i opowiadać o matematyce. Nakłaniać uczniów do studiów w naukach ścisłych i przypominać nauczycielom to, co dawno temu wiedzieli, a teraz… trochę wyleciało im z głowy.

Na konferencji (pod egidą Uniwersytetu Szczecińskiego) opowiadałem o "zadaniach o pociągach" - tych z popularnej dwadzieścia lat temu piosenki ze słowami Wojciecha Młynarskiego: "Ruszają wraz pociągi dwa, z miasteczka B do miasta A...", w której w następnym refrenie słuchaliśmy oczywiście o miłości: "dwa serca, jak pociągi dwa"… i problemem było, czy miną się, czy nie.

"Klasykiem" w tej dziedzinie jest zadanie ponadstuletnie (przepisuję bez zmian, ze zniszczonego zbiorku z datą pierwszego wydania 1912).

Zadanie 0. Ze stacji A o godzinie 6 rano wyszedł pociąg osobowy i dążył w kierunku stacji B z szybkością 25 km na godzinę. O godzinie 8 rano tegoż dnia ze stacji B wyszedł inny pociąg, dążący w kierunku stacji A z szybkością 35 km na godzinę. Odległość pomiędzy stacjami A i B wynosi 530 km. W jakiej odległości od stacji A i o której godzinie spotkają się te pociągi?

Zadanie… bardzo interesujące ze względu na mnogość interpretacji. Ale o tym innym razem. Może tylko jeszcze jedno, stanowiące chyba szczyt w tej dziedzinie, czyli pociągologii zadaniowej. Usiądźcie, Czytelnicy, w majowy weekend wygodnie pod dębem (jeżeli jeszcze nie został ścięty), ze szklaneczką orzeźwiającego napoju i wczujcie się w nastrój szkoły sprzed prawie stu lat. Szkoły uczącej wielu spraw. Lepiej lub gorzej. Zawsze w duchu służby czemuś większemu, wspólnemu - Polsce. Mamy ją jedną. Co najwyżej jedną. "Pamiętajcie o ogrodach" (cytat z piosenki Jonasza Kofty z 1965 r.).

Dość już. Przywołuję sam siebie do porządku. A zatem, Czytelniku odłóż sudoku, ścisz telewizor, bo na pewno idą w nim reklamy, i wczuj się w:

Zadanie (Michalski, 1922). Pociąg osobowy idzie z A przez B do C (przypuszczamy, że B i C leżą na prawo od A), zatrzymując się w B siedem minut. W 2 minuty po wyjściu z B pociąg ten spotyka inny pociąg pospieszny, idący na jego spotkanie z dwa razy większą szybkością. Pociąg pospieszny wyszedł ze stacji C w chwili, gdy osobowy znajdował się o 28 km na lewo od B. Wiemy, że pociąg pospieszny przebywa przestrzeń pomiędzy C i B w ciągu 1 ½ godziny; następnie, gdyby pociąg ten po przybyciu do A i nie zatrzymując się na tej stacji natychmiast wyruszył z powrotem, to przybyłby do C w 3 minuty po przybyciu do tej stacji osobowego pociągu. Ile kilometrów robi na godzinę każdy pociąg i jaka jest odległość pomiędzy A, B i C?

Do pociągów zawsze będę chętnie wracał. Ale dzisiaj inne zadanie. Pochodzi od samego Archimedesa.

Archimedes razy trzy

Czytelnikom, którzy uważają, że nie zrozumieją tych wszystkich rachunków, sugerujemy, żeby wcale nie starali się ich zrozumieć, tylko próbowali poczuć smak samego zadania, postawionego przez starożytnych, a w pełni rozwiązanego dopiero w najnowszych czasach.

Zacznijmy od łatwej wersji.

1. Na rozległych łąkach żyznej Tracji pasą się cztery stada bydła - białe, czarne, czerwone i łaciate. W każdym z nich jest więcej byków niż krów i:

• liczba białych byków jest równa liczbie czerwonych byków + ( 1 ⁄ 2 + 1 ⁄ 3) liczby czarnych byków;

• liczba czarnych byków jest równa liczbie czerwonych byków + ( 1 ⁄ 4 + 1 ⁄ 5) liczby łaciatych byków;

• liczba łaciatych byków jest równa liczbie czerwonych byków + ( 1 ⁄ 6 + 1 ⁄ 7) liczby czarnych byków. Natomiast krów w stadach jest tyle, że:

• liczba białych krów jest równa (1 ⁄ 3 + 1 ⁄ 4) liczebności całego czarnego stada;

• liczba czarnych krów jest równa (1 ⁄ 4 + 1 ⁄ 5) liczebności łaciatego stada;

• liczba łaciatych krów jest równa (1 ⁄ 5 + 1 ⁄ 6) liczebności całego czerwonego stada;

• liczba czerwonych krów jest równa (1 ⁄ 6 + 1 ⁄ 7) liczebności białego stada.

Powiedz, Czytelniku, ile bydła pasie się na łąkach żyznej Tracji?

Równania, w których niewiadome są liczbami całkowitymi, noszą w matematyce nazwę równań diofantycznych - właśnie od imienia Diofantosa, który "po śmierci syna szukał ukojenia wśród liczb".

Podamy odpowiedź. Nietrudno napisać układ równań opisujący warunki zadania. Kłopot tylko z tym, że mamy je rozwiązać w liczbach całkowitych! Pozornie to jeszcze lepiej: piszemy bardzo prosty program, który po prostu przeszukuje po kolei liczby naturalne i sprawdza, a nuż dla pewnych liczb jest dobrze? Ale w porównaniu z takim układem, szukanie igły w stogu siana wydaje się być przyjemnym i błyskawicznym zajęciem. Najmniejsze bowiem liczby naturalne, spełniające odpowiedni układ równań to taki, że: białych byków jest 10366482, białych krów 7206360; czarnych byków jest 7460514, czarnych krów 4893246; łaciatych byków jest 7358060, łaciatych krów 3515820; czerwonych byków jest 4149387, czerwonych krów 5439213, co daje razem 50389082 sztuk bydła. Niezłe stadko - pięćdziesiąt milionów sztuk!

Ponieważ mamy siedem warunków (siedem równań, a osiem niewiadomych), więc każde rozwiązanie musi być układem liczb proporcjonalnym do podanego wyżej, to znaczy, że ogólnymi wzorami na rozwiązanie są:

liczba białych byków = 10366482 k,

liczba czarnych byków = 7460514 k,

liczba łaciatych byków = 7358060 k,

liczba czerwonych byków = 4149387 k,

....

liczba czerwonych krów = 5439213 k,

gdzie k jest współczynnikiem proporcjonalności - dowolną liczbą naturalną.

A teraz drugie zadanie Archimedesa:

2. Wyznaczyć wielkość stada, w którym spełnione są warunki te, co wyżej i jeszcze warunek dodatkowy:

• suma liczby białych i czarnych byków jest kwadratem innej liczby naturalnej.

I znów pozornie nie jest trudno. Szukamy takiego k, by liczba

(10366482 + 7460514) k

była kwadratem liczby naturalnej. Piszemy prosty program, włączamy komputer, komputer sprawdza: k = 1, 2, 3, 4, ... 1000, ..., 10000, ..., 100000, ... wciąż nic. Zatrzymuje się dopiero przy k = 17826996 i teraz już naprawdę łatwo: łączna liczba bydła w stadzie wynosi

50389082·17826996 = 898285963257672,

czyli blisko dziewięćset bilionów sztuk bydła.

Można powiedzieć, że tyle krów to już... abstrakcja (nie zmieściłyby się na powierzchni naszej planety), ale zadanie Archimedesa ma jeszcze dalszą część.

3. Wyznaczyć wielkość stada, które spełnia wszystkie poprzednie warunki i jeszcze taki:

• suma liczby łaciatych i czerwonych byków jest liczbą trójkątną.

Liczby trójkątne to liczby takie jak: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, ... . Charakterystyczną cechą ciągu liczb trójkątnych jest to, że kolejne wyrazy powstają z poprzednich przez dodawanie kolejnych liczb naturalnych: 3 = 1 + 2, 6 = 3 + 3, 10 = 6 + 4, 15 = 10 + 5, 21 = 15 + 6, 28 = 21 + 7 i tak dalej. Dlatego n-ta liczba trójkątna jest sumą liczb naturalnych od 1 do n. Nazwa "liczby trójkątne" pochodzi od ich geometrycznej własności: tyle jednakowych monet da się ułożyć w trójkąt równoboczny.

Ten warunek bardzo komplikuje zadanie. W 1880 r. niemiecki matematyk A. Amthor zauważył jednak, że

17826996 = 4·4456749 i wobec tego mamy zależność:

białe_byki + czarne_byki = 4456749 t², gdzie t jest pewną liczbą naturalną.

Możemy zatem przyjąć, że współczynnik proporcjonalności k jest postaci k = 4456749 t².

Mamy wtedy równanie: łaciate_byki + czerwone_byki = 51285802909803 t²,

zatem zadanie sprowadza się do równania:

51285802909803 t² = n(n+1) ⁄ 2 , o niewiadomych t, n. Po przekształceniach otrzymujemy:

410286423278424 t² + 1 = 4n² + 4n + 1.

Wreszcie, podstawiamy u = 2n + 1, v = 9314 t i mamy:

u² – 4729494 v² = 1.

To jest dobrze znane w teorii liczb równanie Pella. Mój domowy komputer nie potrzebował nawet sekundy, by wygenerować ogólne rozwiązanie. Jeśli obie liczby mają być dodatnie, to:

v = √4729494 (a₁–a₂), u = a₁+a_2 ^⁄2

gdzie:

a₁ = (109931986732829734979866232821433543901088049 – 50549485234315033074477819735540408986340 √4729494 )^m ;

a₂ = (109931986732829734979866232821433543901088049 + 50549485234315033074477819735540408986340 √4729494 )^m ,

zaś m jest parametrem, czyli dowolną liczbą całkowitą.

Już dla m = 1 rozwiązania są, hm, dość duże:

u = 109931986732829734979866232821433543901088049

v = 50549485234315033074477819735540408986340

Niestety, dla tych liczb nie otrzymujemy całkowitego rozwiązania na k, no a przecież liczebność stada nie może być ułamkiem:

k = 611343671945925377854115259381734326411061045627366966551115620883421848543852997300 ⁄ 4657

Wydaje się, że można wziąć komputer i systematycznie podstawiać po kolei za m coraz to większe liczby
m = 1, 2, 3, ... i szukać. Jeżeli natrafi my na takie k, które jest liczbą całkowitą, to zadanie rozwiązane, bo znając k, obliczymy wszystko inne. A jakże, natrafi - my i wyjdzie, że stado będzie liczyć 77602727140648
.... 9455081800 sztuk, gdzie w miejscu kropek są jeszcze 206523 cyfry! Przyjmując, że na stronie mieści się 2500 cyfr, wydrukowanie takiej liczby zajęłoby tom o 660 stronach.

***

Czy obudziłeś się już z drzemki, Czytelniku? Jak uważasz, czy takie zadania mają sens? Nie mają? Gdzie tu jakikolwiek związek z rzeczywistością? No dobrze, możesz wrócić do sudoku… I może będą jakieś interesujące reklamy w telewizji?

***

A oto zadanie dodatkowe, „na lepszą ocenę”:
Pierwszego kwietnia pewnego roku o godzinie 7:57 wyjechał z Warszawy pociąg typu Pendolino w kierunku Poznania. Trzynaście minut później z Poznania w kierunku Warszawy wyjechał pociąg podmiejski do Kutna. Matka maszynisty pociągu Pendolino jest o tyle starsza od ojca kierownika pociągu podmiejskiego, o ile niedoszły mąż ciotecznej siostry szwagra maszynisty jest starszy od swojego brata. Pendolino ma długość 165 m i jedzie z prędkością 165 km na godzinę, pociąg podmiejski ma zaś 66 m i jedzie 66 km na godzinę. Który z tych pociągów będzie bliżej Warszawy, gdy się spotkają?