Jak oszukiwać, manipulować i przedstawiać się w korzystnym świetle w majestacie matematyki?

Podkreślę, że - może wbrew tytułowi artykułu - nie będę ani chwalił, ani krytykował obecnego premiera. Sądzę, że matematyka nie jest jego mocną stroną, ale takiego defektu intelektualnego większość z Państwa nie będzie miała nikomu za złe. Zresztą, czyż nie gorszy byłby na odpowiedzialnym stanowisku świetny matematyk, ale życiowo i politycznie niemądry? Wspomnę także, że Donald Tusk w swojej niegdysiejszej kampanii prezydenckiej powiedział (niby żartem): "matury z matematyki nie da się napisać bez ściągania". Wiadomo - tuman z matematyki, to swój chłop, taki jak ja. Na nieznajomość matematyki snobował się i Julian Tuwim. A ja poczułem się wywołany do tablicy. Jeszcze tylko wspomnę, że mieliśmy w Polsce premiera-matematyka. Był nim (i to pięciokrotnie) Kazimierz Bartel, 1882-1941, rektor Politechniki Lwowskiej, świetny geometra. Jego rządów nie umiem i nie próbuję ocenić.

Wycieranie sobie gęby Królową Nauk jest uniwersalne i stare. Pisano na ten temat książki, cienkie i grubsze. Jest wiele sposobów, omówię kilka, zacznę od tych grubymi nićmi szytych. Może dawniej tych sposobów było nawet więcej, bo w monumentalnym i pierwszym tego rodzaju Słowniku Języka Polskiego Samuela Bogumiła Lindego (wydawanego w latach 1807-1814) czytamy:

Matematacz, matacki matematyk, kuglarz matematyczny.

Nie umiemy najprostszych działań, a bardzo chcemy się wykazać. Kilka lat temu pewna dziennikarka z Olsztyna napisała długi demaskatorski artykuł, jak to producenci nas oszukują. Na przykład: na opakowaniu masła jest napisane "zawartość tłuszczu 85 procent" - ale czy to jest 85% na kostkę, czy na kilogram? Rechotała cała Polska. Ale tylko rozgarnięci nauczyciele matematyki (czyli wszyscy nauczyciele matematyki!) dostrzegli błąd w rozumowaniu jednego z naszych byłych premierów, Kazimierza Marcinkiewicza, wiele lat temu. Zmienię trochę liczby, żeby było lepiej widać. Powiedział mniej więcej tak: przeznaczyliśmy na budowę dróg 150 milionów złotych, ale dostaliśmy z Brukseli 50, a więc wydamy tylko 100. Zaoszczędziliśmy 50 procent. No bo 50 do 100 to 50 procent. Gdzie jest błąd? A gdybyśmy dostali 100 milionów, to ile byśmy zaoszczędzili? Błąd jest subtelny. Mówiąc o procentach, należy wyjaśnić, od czego go bierzemy. Bardzo częsty błąd nauczycieli jest taki. Mówią, że procent to jedna setna. Tak nie wolno! Procent to jedna setna, ale zawsze czegoś. Jeżeli mieliśmy wydać 150, a wydamy 100, to oszczędzamy 50 na 150, a więc 33%. Premier Marcinkiewicz był nauczycielem fizyki. Albo był tak kiepskim nauczycielem, że nie rozumiał procentów, albo celowo zmanipulował, żeby osiągnąć lepszy efekt polityczny. Wolałbym w gruncie rzeczy to drugie. Przypomnę bardzo stary, jeszcze przedwojenny, dowcip. "Tato, zaoszczędziłem dziś 20 groszy!" "To bardzo dobrze, synku! A jak?" "Nie pojechałem do szkoły tramwajem, tylko biegłem za nim!" "Oj, synku, na drugi raz biegnij za taksówką - zaoszczędzisz 5 złotych!"

Pomysły, pomysły! Duża część pomysłów z tzw. kreatywnej księgowości bazuje na lukach prawnych (prawo pisane na kolanie = bubel) i manowcach z pojęciem średniej. Oto przykład: jak można dać każdemu podwyżkę, powodując jednocześnie spadek średniego wynagrodzenia? Proste: dać niewielką podwyżkę tym, którzy już pracują, a równocześnie przyjąć do pracy wiele nisko płatnych osób. Średnia spadnie... a w warunkach zadania nie było przecież mowy o globalnym funduszu płac. Podobno przed 1989 rokiem pewien dyrektor państwowego zakładu pracy tak się zachował.

Można walić wprost, wykorzystując analfabetyzm matematyczny wielu kręgów społeczeństwa i łącząc matematykę (??) z literaturą (??). Oto demagogiczny, ale wyimaginowany tekst (choć oparty na prawdziwej publikacji, dla ustalenia uwagi, sprzed 2010 roku).

Pielęgniarkom będzie lepiej. Dwa lata temu przeciętne wynagrodzenie pielęgniarki w powiecie sochaczewskim wynosiło netto 1500 zł. W roku ubiegłym rząd zwiększył nakłady na służbę zdrowia o pół miliarda zł. Będzie to dwa razy więcej niż w latach ubiegłych. Hermenegilda Kociubińska, pielęgniarka z Centralnego Szpitala Klinicznego, mówi: moja pensja w zeszłym miesiącu wyniosła aż 4500 zł. Oznacza to olbrzymi, trzykrotny wzrost zarobków w służbie zdrowia.

Czy naprawdę nikt nie da się oszukać? Jeśli nawet liczby się zgadzają, to widać, że porównujemy tu średnie wynagrodzenie w prowincjonalnym szpitalu z wynagrodzeniem jednej osoby w wybranym miesiącu. Może Hermenegilda jest szefową pielęgniarek, może w tym miesiącu miała dużo dodatkowych dyżurów, a w dodatku Centralny Szpital Kliniczny ma specjalną siatkę płac? Poza tym wymienione 1500 złotych jest płacą netto, a nie jest podane, czy płaca pani Kociubińskiej jest netto, czy brutto. Pół miliarda jest olbrzymią sumą dla pojedynczego człowieka, ale co to naprawdę znaczy w skali kraju? Zauważmy od razu, że "pół miliarda" lepiej brzmi propagandowo niż "500 milionów". Nie jest podane, na co poszło 500 mln złotych. Nie wiadomo, od czego owe 500 mln złotych jest większe dwa razy.

Jak poprawić wyniki nauczania? Szkoła X jest krytykowana przez władze oświatowe za niskie wyniki nauczania (to znaczy niską średnią ocen, choć to przecież są dwie różne sprawy!). Dyrektor szkoły odkrywa sposób na drobną poprawę. Przesuwa kilku uczniów z klasy A do B i osiąga cel: w obu klasach wzrosła średnia ocen.

Jak to możliwe? Elementarne, drogi Watsonie. Jeśli w klasie A jest uczeń, który ma średnią ocen niższą od średniej klasy A, ale wyższą od średniej klasy B, to przesunięcie go do B spowoduje ten właśnie skutek. Na tym efekcie oparte jest przekonanie Mieczysława Czumy i Leszka Mazana, autorów Encyklopedii Galicyjskiej (wyd. Anabasis, Kraków), że w dniu, w którym Zygmunt III Waza wraz z dworem przeniósł się do Warszawy, w obu tych miastach wzrósł średni poziom inteligencji.

Tendencyjnie interpretujemy dane. To najczęstsze nieelementarne naciąganie. Zacznę od najgłupszego, ale autentycznego przykładu. Wiele, wiele lat temu, nieistniejący już Express Wieczorny doniósł, że przeciętna płaca na Uniwersytecie Warszawskim będzie wynosić 15000 zł (ówczesnych złotych). Najwyższe uposażenie miał dostawać rektor, 24, najniższe początkujący asystent, 6. Średnia 15!!! Manipulacja pojęciem średniej to temat na habilitację.

Oto kolejne dwa przykłady. Czy wiecie Państwo, że przeciętny człowiek w Polsce ma mniej niż dwie nogi? No, tak: są tacy, co mają jedną, a nikt nie ma trzech! Drugi przykład jest bardziej subtelny. Otóż ja i moja żona mamy własne samochody. Mój samochód-dostawczak zużywa dużo paliwa, 12,5 litra na 100 km. To znaczy, że na 100 km potrzebuję 8 litrów. Moja żona ma malutkie mitsubishi - pali 8 litrów na 100 km. To też dużo, ale żeby obliczenia były proste, trzeba trochę spreparować dane. Jeździmy tak samo często. Wobec tego przeciętne zużycie paliwa naszych dwóch samochodów to średnia arytmetyczna 8 i 12,5. Dodajemy, dzielimy przez 2. Wychodzi 10,25 litra. Oczywiście ważne jest, że jeździmy tak samo często. Gdzie tu zatem pole do manipulacji?

A no, tu. Czy wiecie, że w USA inaczej oblicza się zużycie paliwa? Tam odpowiedzą: "przejeżdżam tyle a tyle mil z jednego galona". Zostawmy przeliczenie galonów na litry i mil na kilometry, ale zastosujmy to do wspomnianych wyżej samochodów: mojego i Jednoosobowej Rady Nadzorczej Naszego Małżeństwa. Ja przejadę tylko 8 km na jednym litrze (100 dzielone przez 12,5), żona 12,5 km (100 dzielone przez 8). Średnio na jednym litrze przejedziemy… średnią arytmetyczną tych liczb. Już raz to obliczaliśmy. Wychodzi 10 i ćwierć - tym razem 10,25 kilometra.

Przeliczmy to z powrotem na miary europejskie. Jeżeli na jednym litrze przejadę 10,25 km, to ile litrów trzeba na 100? Weźmy kalkulator: 100 dzielone przez 10,25 to… 9,76. Przeciętne zużycie naszych samochodów to 9,76… a przedtem wyszło 10,25. Gdzie jest błąd? Nie ma! A właściwie jest, tylko nie matematyczny, tylko w interpretacji słów "jeździmy tak samo często". Uważna analiza pokaże, że w pierwszej interpretacji znaczy "przejeżdżamy miesięcznie tyle samo kilometrów", a w drugiej "zużywamy tyle samo benzyny". Można by dodać trzecią zmienną: spędzamy tyle samo czasu za kierownicą (żona jeździ znacznie szybciej)… i wyszłoby jeszcze inaczej. Jeżeli coś mierzymy, musimy mieć miarkę.

Bardziej subtelne sytuacje. Paradoks Simpsona. Badamy, co usuwa lepiej łupież: coca-cola, czy pepsi-cola. Testujemy na kobietach i mężczyznach. Oto dane. Prawie wszystkie obliczenia da się wykonać w pamięci.

Proszę Cię, Czytelniku, usiądź. Po to, żebyś nie upadł z wrażenia. Który napój lepiej usuwa łupież u mężczyzn? Zaznaczyłem większe liczby na czerwono, mniejsze na niebiesko. 25 jest większe niż 20, nieprawdaż. Panowie: kupujcie coca-colę na łupież! A co dla kobiet? Pewnie odwrotnie? Nie, 60 > 53. Drogie panie, używajcie coca-coli.

Koncern wykupuje reklamę w telewizji, gdzie zadowolone małżeństwo (to staromodne: mężczyzna i kobieta) pozbywają się tej drobnej dolegliwości, używając coca-coli. Ale zaraz potem idzie reklama pepsi. No, bo testowi tu i tu poddano po 250 osób, a więc po równo. Coca-cola pomogła 80 osobom (32 procent), pepsi 100 osobom, 40%. Na ekranie tłum pozbywa się łupieżu, a przed kamerę wjeżdża puszka pepsi. "Nasze pokolenie już wybrało!"

Gdzie jest błąd? Nie ma. To znaczy matematyka jest w porządku. A raczej tylko arytmetyka. Żeby i matematycznie było w porządku, musimy wziąć porównywalne próbki, z takim samym udziałem M, co K. Inaczej obliczenia nie mają żadnego sensu, trochę tak, jakbyśmy obliczali średnią wagę komara i słonia. Możemy dodać i podzielić przez dwa. Co obliczyliśmy? Ano, średnią wagę komara i słonia. Co nam to da? Nic.

Przenieśmy to jednak na politykę, w USA oczywiście. Zwolennicy jednego z kandydatów, powiedzmy Bumpa, wołaliby: jesteśmy lepsi i dla pań, i dla panów. Głosujcie na Józefa Podskoka! Zwolennicy Tridena pisaliby na transparentach: Globalnie jesteśmy lepsi. Głosujcie na Kaczora (Donalda) 3-dena.

No, dobrze, a jak jest naprawdę? To jest najtrudniejsze. Co to znaczy "naprawdę?" Można mówić "prawdziwe przecież jest to, co jest zgodne z rzeczywistością." Powstaje jednak następne pytanie: jak mierzymy "zgodność z rzeczywistością?" Ale to już nie jest matematyka a chciałbym się jej trzymać, bo tylko tu czuję się pewnie.

Na tym paradoksie (zwanym paradoksem Simpsona) oparte jest wiele, wiele innych. W matematyce znany był od stu lat, ale (stosunkowo) niedawno zainteresowały się nim nauki społeczne. Zaczęło się od tego, że na pewnym uniwersytecie amerykańskim pani rektor zwróciła uwagę, że przyjęto znacznie mniej dziewcząt niż chłopców. Zażądała raportów od dziekanów… i okazało się, że na każdym wydziale stosunek liczby przyjętych do liczby kandydatów jest większy dla dziewcząt niż dla chłopców - a łącznie jest na odwrót. Polecam Czytelnikowi przerobienie przykładu z pepsi i coca-colą na sytuację wydziałów uniwersytetu.

Jeszcze bardziej subtelna sytuacja. W światku matematycznym każdy zna "przykład z Nebraski". Gdzieś w Nebrasce napadnięto na sklep, obrabowano kasę. Świadkowie zapamiętali tylko, że dokonała tego dziwna para: czarnoskóry mężczyzna z brodą i kobieta o orientalnych rysach. Odjechali (z piskiem opon, jak na filmie) żółtą toyotą. W kilka godzin później policja zatrzymała… żółtą toyotę, a w niej Afroamerykanina z brodą w towarzystwie dziewczyny Azjatki. "To wy!". Kajdanki, proces. Ekspert matematyk wyliczył, że taki zestaw (Murzyn + Azjatka + żółta toyota) jest tak wyjątkowy, że na 99,999% są to szukani włamywacze. Rzucał na sali sądowej uczone terminy: zdarzenia elementarne, schemat Bernoulliego, koniunkcja. Para poszła siedzieć. Wynajęli jednak lepszego matematyka, który powiedział w procesie apelacyjnym: "OK. panie sędzio, mój poprzednik wyliczył, że prawdopodobieństwo, że losowo napotkany samochód z dwójką pasażerów będzie żółtą toyotą z Murzynem i Japonką jest takie a takie. Ale tu trzeba rozwiązać inne zadanie, na prawdopodobieństwo warunkowe. Jakie jest prawdopodobieństwo spotkania innej pary (albo trójki, jeżeli włączamy do tego i samochód), pod warunkiem, że wiemy, że już istnieje jedna."

Nie wiemy, czy sędzia zrozumiał coś z wywodu. Być może tylko tyle, że odpowiedź zależy od wyboru modelu matematycznego sytuacji. To wystarczyło. Uchylił wyrok.

Walenie słupkiem po głowie. Taką demagogią jesteśmy częstowani od zawsze (1).

Słupki są przerażające: ceny węgla wzrosły dwukrotnie. Rzut oka na liczby uspokaja: wzrosły, owszem, ze 161 złotych za tonę do 169 (ćwiczenie: to o ile procent?). Ponieważ jednak większość ludzi to "wzrokowcy", zapamiętają wykres, nie liczby. Nie wchodząc w dyskusje polityczne, muszę stwierdzić, że podobną metodę zastosował rząd (ten z lata 2020 roku), prezentując wzrost nakładów na walkę z rakiem. To nie jest krytyka tego rządu. Następny też tę metodę wykorzysta. Jest bezpieczna i daje natychmiastowy efekt ("przecież widać").

Nośmy maseczki. Prawa rozchodzenia się epidemii są proste i "same z siebie" nieubłagane. Liczba zarażonych przybywa tym szybciej, im więcej ich już jest. Tak toczy się lawina. Tak mówi matematyka. Jest jednak wielkie "ale" - może niejedno. Po pierwsze: jest tak, dopóki "nic się nie dzieje". Gdy lawina zostanie wyhamowana na lesie, gdy epidemia zostanie spowolniona przez mądre zachowanie się nas wszystkich - wtedy nie tyle "podziękujemy" matematyce, tylko stworzymy inny model. Tak, inny model matematyczny (jak w przykładzie z napadem na sklep w Nebrasce). Matematyka, piękna nauka, tylko pomaga w zrozumieniu świata. Aż tyle - ale tylko tyle. Spójrzmy: z tyczką skaczemy blisko sześć metrów, bez niej nawet nie 2,50. No to weź, Czytelniku, tyczkę do ręki i skacz. Cholernie przeszkadza, prawda?

Stosowanie matematyki w naukach społecznych jest trudne, niebezpieczne i co gorsza: kuszące. Znawcom Tatr skojarzy się to ze żlebem Drege’a: łagodnym, trawiastym zejściem z Granatów do Czarnego Stawu… Tak to wygląda z góry. Rychło żleb przemienia się w pułapkę, z której wyratować nas może tylko TOPR, Tatrzańskie Ochotnicze Pogotowie Ratunkowe.

Matematycy nazywają taki wzrost, jakim podlega lawina śnieżna i epidemia, wzrostem wykładniczym. Jak pisałem, wzrost ten można zdusić, ale to znów już nie należy do matematyki. Spójrzmy jednak na dwa wykresy tej samej krzywej (tylko w innej skali). Kto zrozumie, to podaję wzór tej funkcji: y=2^x, dwa do potegi x. Proszę popatrzeć na wykresy. Od jakiego miejsca następuje gwałtowne przyspieszenie wzrostu? Każdy wskaże: to mniej więcej w pobliżu punktu zaznaczonego dużą kropką. Ale na pierwszym wykresie dzieje się to dla wartości x bliskiej 1,5, a na drugim ponad 3, a na trzecim 4,5. Jeżeli właśnie wtedy zdarzą się jakieś demonstracje uliczne, można powiedzieć: o proszę, od momentu demonstracji krzywa poszła do góry, gwałtownie poszła do góry. W majestacie matematyki! A to po prostu własność krzywej wykładniczej. Odpowiednia skala - i punkt, od którego zaczyna się gwałtowne przyspieszenie, można wybrać dowolnie (2).

Wybory prezydenckie… oczywiście w USA. Pamiętamy jeszcze farsę z listopada 2020 roku. Państwo, które jest wciąż mocarstwem nr 1, nie mogło sobie poradzić z policzeniem kartek. W końcu okazało się, że Joe Biden nie tylko zgromadził więcej głosów elektorskich, ale wygrałby również, gdyby decydowała zwykła większość. W sytuacji, którą opiszę, nie ma oszustwa matematycznego - a tylko przykład, jak bardzo wynik wyborów może zależeć od przyjętej ordynacji. Jeżeli jest ona znana, to trudno protestować. Obrońca w piłce nożnej może uważać, że zakaz gry ręką jest niesłuszny, ale jeżeli go zignoruje, sprowokuje rzut karny.

Wyobraźmy sobie oto, że w wyborach na stanowisko prezydenta Grecji startują: Apoloniusz, Euklides, Heron, Pitagoras i Tales. Prezydentem zostanie ten, kogo wybiorą elektorzy. Jest ich równo 100. Wybrano ich w głosowaniu powszechnym, po czym partie reprezentowane w parlamencie, czyli Circus Maximus, ustaliły kolejność swoich preferencji. Coś się nie zgadza, bo Circus Maximus to przecież łacina, a nie greka. Ale nie dyskutujmy ze źródłami.

Kto zostanie prezydentem? Zobaczmy, jak to zależy od ordynacji. Preferencje partii należy tak rozumieć, że jej elektorzy głosują na pierwszego z listy, który jeszcze został w wyborach po kolejnej turze.

1. Jeśli ordynacja stanowi, że zwycięża ten kandydat, kogo na pierwszym miejscu postawi najwięcej wyborców, to wygra Pitagoras, bo wybierze go 25+9=34 elektorów. Tak bywa w szkole, gdy wybieramy np. najlepszego ucznia. U nas: Pitagoras wybrańcem narodu!
2. We współczesnych wyborach prezydenckich najczęściej stosuje się system drugiej tury. Głosujemy na jednego kandydata, ale jeżeli nikt nie przekroczy 50 procent, to odbywa się druga tura. Wygrywa w niej ten, kto zdobędzie bezwzględną większość głosów, czyli po prostu więcej głosów niż jego przeciwnik. W takim układzie do drugiej tury przejdą Pitagoras (34 głosy) i Tales (20). W drugiej turze elektorzy przerzucają głosy zgodnie z preferencjami. Wszyscy poza pitagorejczykami wolą Talesa od Pitagorasa. To częsta sytuacja, gdy partia ma swój twardy elektorat, a poza tym otoczona jest ogólną niechęcią. Zatem w dogrywce Pitagoras nie zyska ani jednego głosu. Wynik 66:34 dla Talesa i zdecydowane zwycięstwo. Podobna sytuacja zdarzyła się w 2001 roku na Słowacji, gdzie kandydat, który wyraźnie wygrał pierwszą turę, przegrał w drugiej. Również w wyborach prezydenckich w Polsce w 2005 roku było podobnie: lider po pierwszej turze został pokonany w drugiej. Niech żyje prezydent Tales!
3. W wyścigach kolarskich interesujący jest tzw. system australijski. Po każdym okrążeniu toru odpada ostatni. Ten wariant ordynacji wyborczej nosi nazwę „wyborów dyrektorskich”. Tym systemem został wybrany pierwszy prezydent niepodległej Polski, Gabriel Narutowicz. Jak by to wyglądało w naszej Grecji?

Rzecz jest bardziej skomplikowana. Proszę prześledzić. W pierwszej turze najmniej głosów otrzymał Euklides i odpadł (a szkoda, taki dobry matematyk!). Partia D głosuje zatem w drugiej turze na drugiego ze swej listy: na Herona. W drugiej turze Heron ma 19+10=29 głosów. Odpada Apoloniusz (17 głosów). Partie C i D głosują potem na Herona. W trzeciej turze Pitagoras (o stałym elektoracie) ma 34, Tales 20 a Heron 29+17=46 głosów. Odpada Tales. Talesiacy (partia B) też nie lubią pitagorejczyków - wolą heroniarzy. Inni zresztą też, z wyjątkiem konsekwentnych partii A i E. W ostatniej turze Heron łatwo zwycięża Pitagorasa 66:34. Vivat prezydent Heron!

     4. W konkursie Eurowizji na najlepszą piosenkę przyznawało się 12 punktów za umieszczenie piosenki na  pierwszym miejscu listy, 10 za drugie miejsce, 9 za trzecie i tak dalej. Przyjmijmy nieco podobną punktację 6-4-3-2-1. Tak punktowano zresztą w trójmeczach lekkoatletycznych (trzy drużyny, po dwóch zawodników w każdej konkurencji, w 1958 Polska wygrała z USA i Wielką Brytanią!). U nas wyniki będą jak niżej:

Euklides:       4+2+3+4+6+4=23.
Apoloniusz:  2+3+4+5+3+3=20.
Heron:           1+4+6+3+4+1=19.
Tales:            3+6+2+2+2+2=17.
Pitagoras:     6+1+1+1+1+6=16.

Ludu grecki, oto twój prezydent Euklides!

     5. Czytelnicy domyślają się, że do kompletu potrzebny jest nam tylko taki sposób liczenia głosów, żeby okazało się, że najlepszy jest Apoloniusz. I rzeczywiście, Apoloniusz jest najlepszy - bo jest lepszy od wszystkich innych. Każdy przegrywa z Apoloniuszem! Dlaczego?

Ilu bowiem elektorów stawia Apoloniusza przed Heronem? Policzmy: 25+17+9=51, a więc większość. Niewielka, ale jednak.

Ilu stawia Apoloniusza przed Euklidesem? 20+19+17=56, większość.

Ilu preferuje Apoloniusza w porównaniu z Talesem: 19+17+10+9=55>50.

Wreszcie, Apoloniusza od Pitagorasa woli 20+19+17+10=66 elektorów na 100.

Skoro zatem - ludu grecki, przecież umiesz myśleć logicznie - skoro większość woli Apoloniusza od każdego innego kandydata; to przecież właśnie on powinien nami rządzić przez najbliższą kadencję! Zbliż się, Apoloniuszu, nasz prezydencie-elekcie! Ty będziesz naszym 44.

Michał Szurek

Zobacz także: