Myślenie ma kolosalną przyszłość
Stypendystą Funduszu może być każdy uczeń, który… zgłosi się i przekona nas o swoich zainteresowaniach, wykraczających poza obowiązkowy program nauczania. Znaczy to m.in., że świadectwa szkolne ze średnią 6,0 traktujemy podejrzliwie, na zasadzie "ach, to tylko ogólnie dobry uczeń". Większe szanse ma natomiast np. ktoś z małej miejscowości, kto z pasją bada geologię własnej okolicy, albo sam z siebie opanował tajniki analizy matematycznej, czy też wiadomościami z historii starożytnej wykracza poza poziom olimpiady historycznej.
Ukryję tu pod skrótem ucznia X.Y. z małej miejscowości Z. w województwie lubelskim, który zdobył srebrny medal w konkursie młodych naukowców Unii Europejskiej za pracę o… zwykłym trójkącie
Co tu ciekawego? Nie powiem. Za odpowiedź na to pytanie ów młody człowiek X.Y. (maturzysta ze zwykłego liceum w Z.) otrzymał dwie znaczne nagrody krajowe i bez problemu dostał się właśnie (w czerwcu 2019 r.) na studia na Uniwersytet Warwick w Anglii. Co znaczy tylko, że polskie uczelnie nie są gorsze od angielskich.
na rysunek 1.
Od Platona do Plotyna
Wracam do wykładu w Serocku.
Oto krótka wędrówka hasłem "Geometria na przestrzeni dziejów".
Filozofowie sami często mawiają, że wszystko w ich nauce to dodatki i komentarze do Platona. Wszystko już było, wszystko zbadał Platon. Żył w latach 427- -347 p.n.e., a jego prawdziwym imieniem by podobno Aristokles. Platonem został nazwany z powodu swoich... szerokich barów (gr. platys, czyli "szeroki").
Nie mogę oprzeć się dygresji. Ksiądz Józef Stolarczyk (1816-1893, proboszcz w Zakopanem od 1846 r.) zdołał okrzesać dzikich górali podhalańskich, zaszczepić w nich wiarę katolicką (niekiedy luźnie pojmowaną). Nie było chyba nikogo, komu w 1997 r., podczas wizyty Jana Pawła II w Zakopanem, nie napłynęły łzy do oczu w trakcie wygłaszania, na kolanach, przez delegację górali "hołdu górali polskich", a potem duszoszczipatielnej pieśni podhalańskiej w wykonaniu chóru dziecięcego.
Pieśń owa ("Wszyscy dziś wam życzą to i owo…") jest oparta na znanym i przejmującym motywie podhalańskim. Po polsku to "Idzie Janko lasem, wysoko się niesie", albo "Kie góral umiyro, nik za nim nie płace", po słowacku "Kupala Studienku", a melodia posłużyła jako podkład do hymnu Republiki Słowacji "Nad Tatrou sa blyska". Z kolei, jak pisze Antoni Kroh ("Sklep potrzeb kulturalnych", Prószyński i Ska, 1999, s. 111), Węgrzy znają tę melodię jako piosenkę o… babie, która weszła na drzewo, spadła i stłukła sobie wiadomo co.
Jaki to ma związek z matematyką i Platonem? Ksiądz Stolarczyk słynął z niebywałej sprawności i siły fizycznej. Właśnie m.in. tym nawracał górali. Dedykuję to tym wszystkim rodzicom, którzy zwalniają swoje dzieci z zajęć wychowania fizycznego, "bo im się to w życiu nie przyda". Mens sana in corpore sano. W zdrowym ciele zdrowy duch.
W gaju herosa Akademosa Platon założył ok. 387 p.n.e. szkołę (czyli miejsce do wymiany poglądów). Według legendy, nad wejściem wisiał napis ἀγεωμέτρητος μηδεὶς εἰσίτω, co znaczy mniej więcej "niech nie wchodzi tu nikt, kto nie zna geometrii".
Stąd wzięła się nazwa "akademia". Słynna Akademia Platona przetrwała Grecję, cesarstwo rzymskie, początki chrześcijaństwa, Olimpiady i dotrwała niemal do początków organizacji państwowych w Europie Zachodniej: została zamknięta edyktem cesarza Justyniana w 529 roku naszej ery. W tym samym roku święty Benedykt założył klasztor na Monte Cassino.
Rok 529 jest intelektualną cezurą oddzielającą starożytność od średniowiecza - "lepszą" niż obalenie ostatniego cesarza rzymskiego w 476 r. Poza Kościołem chrześcijańskim, Akademia Platona pozostaje do tej pory najdłużej działającą instytucją w historii ludzkości. Wielu z nas dożyje roku, gdy rekord ten pobije uniwersytet w Bolonii (przyjmujemy za datę jego założenia rok 1150).
Platon postawił pytanie nurtujące następnie filozofów wszystkich pokoleń. W średniowieczu znano to pod nazwą sporu o uniwersalia, a w nowszych czasach jest to kwestia, jak dalece (jeśli w ogóle) możemy wyznawać nominalizm.
Mówiąc w skrócie, nominalizm zakłada, że wszystkie nazwy ogólne odnoszą się tylko do przedmiotów, o których je orzekamy, a nie do czegoś innego. Przedmiotem nazwy "człowiek" są więc poszczególni ludzie, przedmiotem słowa "zielony" - wszystkie przedmioty zielonego koloru itd. I nic więcej. Nie ma żadnych uniwersaliów, powszechników. Klasy abstrakcji nie istnieją. Nie istnieją pojęcia ogólne. Leszek Kołakowski tak sformułował pytanie Platona: "Czy możemy wyżyć umysłowo, wierząc, że nie ma w świecie nic oprócz poszczególnych obiektów i że w szczególności nie ma nic takiego, jak niewidzialne, ale rozumowi dostępne królestwo bytów matematycznych?".
Za i przeciw nominalizmowi jest wiele argumentów, ale dyskusja nad nimi wykracza poza nasze ramy. Jak sądzicie, czy gdyby nie było w ogóle ludzkości, to liczba 7 byłaby liczbą pierwszą, twierdzenie Pitagorasa byłoby prawdziwe, a każda funkcja różniczkowalna byłaby ciągła? Jeśli odpowiesz, że tak, to zastanów się, czy w ogóle istniałyby jakieś liczby, linie proste, trójkąty? Przecież one istnieją tylko w naszej wyobraźni… Jeśli odpowiesz "nie", to czy nie zrobi Ci się dziwnie na duszy, że matematyka jest jednak bardzo ludzka?
Wszyscy znamy pochodzenie nazwy "geometria", jak i powszechny pogląd na pochodzenie samej nauki. Po prostu zaczęliśmy (my, ludzie) mierzyć ziemię (a potem i Ziemię) w celach jak najbardziej użytkowych. Określanie odległości, prowadzenie linii prostych, wytyczanie kątów prostych, obliczanie objętości stawało się powoli koniecznością. I stąd cała geometria, stąd cała matematyka…
Od pewnego jednak czasu ten jasny obraz historii nauki zaciera nam się. Gdyby matematyka potrzebna była wyłącznie w celach użytkowych, nie troszczylibyśmy się o dowodzenie prostych twierdzeń. "Przecież widać, że to musi być ogólnie prawdą", powie każdy po sprawdzeniu, że w kilku trójkątach prostokątnych suma kwadratów przyprostokątnych jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej. Po co aż taki formalizm? Placek ze śliwkami ma być smaczny, program komputerowy ma działać, samochód musi jeździć. Jeżeli trzydzieści razy obliczyłem pojemność jakiejś beczki i było dobrze, to po co jeszcze uzasadnienie?
Tymczasem starożytnym Grekom "nagle" przyszło do głowy, że trzeba… pomyśleć.
To dzięki twierdzeniu Talesa umiemy rysować mapy i umiemy je wykorzystywać. Gdy na wycieczce zastanawiamy się, czy skręcić w prawo, czy w lewo, wyjmujemy mapę, na której teren przedstawiony jest w pewnej skali. I już wiemy, którędy na Turbacz. Jest to dla nas tak oczywiste, że nie uważamy tego za coś niezwykłego. A jednak były cywilizacje, które nie znały map - takich w dzisiejszym sensie.
Śmiały i odważny pogląd wypowiada Marek Kordos w swoich "Wykładach z historii matematyki". Zastanawia się on, dlaczego to Europejczycy odkrywali dalekie lądy, a nie czynili tego np. starożytni Chińczycy.
"Przecież to myśmy do nich dopłynęli, a nie oni do nas", pisze i odpowiada: "Chińczycy nie znali twierdzenia Talesa. Bez twierdzenia Talesa nie ma dobrej mapy, bez dobrej mapy podróżowanie jest o wiele trudniejsze".
Matematyka zaczyna się więc od Talesa (625-547 p.n.e.). Przyjmuje się, że to w Milecie zaczęto się zastanawiać, dlaczego. Inteligentnym ludziom nie wystarczyło, że coś widzą, że o czymś są przekonani. Dostrzegli potrzebę dowodu, logicznego ciągu argumentów - od założenia do tezy.
Chcieli też czegoś więcej. Prawdopodobnie to Tales pierwszy próbował wyjaśnić zjawiska fizyczne w naturalistyczny sposób, bez boskiej interwencji. Filozofia europejska zaczęła się od filozofii przyrody - od tego, co jest już za fizyką (stąd nazwa: metafizyka). Ale fundament europejskiej ontologii i filozofii przyrody położyli pitagorejczycy. W Krotonie na Sycylii Pitagoras (ok. 580 - ok. 500 p.n.e.) założył własną szkołę - dziś nazwalibyśmy ją może sektą. Nauka (w dzisiejszym sensie tego słowa), mistyka, religia i fantazjowanie mieszały się tam dość dokładnie. Bardzo ładnie przedstawił lekcje matematyki w niemieckim gimnazjum Thomas Mann w powieści "Doktor Faustus". W przekładzie Marii Kureckiej i Witolda Wirpszy fragment ten brzmi:
Notując i wznosząc niekiedy oczy ku łagodnie uśmiechniętej twarzy profesora o białej grzywie, chłonęliśmy ową wczesną koncepcję kosmologiczną, wytwór surowego a nabożnego umysłu, który główną swoją namiętność, matematykę, abstrakcyjne proporcje, liczbę, podniósł do rangi głównej zasady powstania i istnienia świata i stając jako wtajemniczony mędrzec wobec całokształtu zjawisk pierwszy, z wielkim gestem, nazwał je był "Kosmosem" jako ład i harmonię, ponadzmysłowy system dźwięcznych interwałów sferycznych. Liczba i stosunki liczb jako pojęcie leżące u podstaw bytu i moralnej godności - ogromne sprawiało wrażenie, jak wszystko, co piękne, ścisłe, etyczne, zespalało się tu uroczyście w ideę autorytetu, ożywiającą cały związek pitagorejczyków, ezoteryczną szkołę religijnej odnowy życia, milczącego posłuszeństwa i ścisłego podporządkowania się zasadzie "autós épha".
W interesującej książce "Historia wiedzy od zarania dziejów do dziś"[1] znalazłem bardzo ciekawy punkt widzenia. W jednym z rozdziałów autor opisuje znaczenie szkoły pitagorejskiej. Zdumiał mnie sam tytuł rozdziału. Brzmi on: "Wynalezienie matematyki: pitagorejczycy". Często dyskutujemy, czy teorie matematyczne się odkrywa (tak jak nieznane lądy), czy wynajduje (jak nieistniejące przedtem maszyny). Matematycy oczywiście wolą się czuć odkrywcami. Autor pisze tam jednak o wynalezieniu samej matematyki, jako całości.
W geometrii pitagorejczycy badali m.in. figury podobne. I właśnie przy analizie twierdzenia Talesa, podstawowego prawa dotyczącego reguł podobieństwa, nastąpiła katastrofa. Odkryto odcinki niewspółmierne, a co za tym idzie, liczby niewymierne, odcinki, które nie dają się zmierzyć żadną wspólną miarą, liczby, które nie są proporcjami liczb całkowitych. I to odkryto je w jednej z najprostszych figur: w kwadracie.
Dziś przemykamy obok tego faktu, prawie go nie zauważając. Przekątna kwadratu o boku 1 ma długość √2. Świetnie, ile to może być równe? Wciskamy dwa lub trzy przyciski kalkulatora: 1,4142... w porządku, już "wiemy", co to jest pierwiastek z dwóch. Pitagorejczykom usunął się nagle spod nóg twardy grunt. Wszystko powinno było dać się opisać liczbami, a przekątna kwadratu, którą każdy może narysować sobie patykiem na piasku, nie ma żadnej - to znaczy wymiernej, bo przecież innych liczb nie ma - długości. "Daremna była nasza wiara", zdają się mówić pitagorejczycy. Co robić?
Związek próbował ratować się metodami sekciarskimi. Każdy, kto by ośmielił się wyjawić istnienie liczb niewymiernych, miał być karany śmiercią i podobno sam mistrz - nie patrząc na przykazanie łagodności - wykonał pierwszy wyrok. Potem wszystko zasnuło się kurtyną. Zgodnie z jedną z wersji pitagorejczycy zostali wymordowani (uratowało się ledwie kilku i dzięki nim cała idea nie została złożona do grobu), wg innej sami uczniowie, tak przedtem posłuszni, wypędzili uwielbianego mistrza i skończył on życie gdzieś na wygnaniu.
Ale "myśl uszła cało". Nadszedł złoty wiek. Grecy zwyciężyli Persów (Maraton 490 p.n.e., Plateje 479 p.n.e.). Okrzepła demokracja, powstały nowe ośrodki myśli filozoficznej i szkoły. Wyznawców pitagoreizmu wciąż dzieliła trudność związana z liczbami niewymiernymi. Jedni głosili: "tej tajemnicy nie zgłębimy; możemy ją tylko kontemplować i zachwycać się Niezbadanym". Drudzy byli bardziej pragmatyczni i nie czuli respektu przed Tajemnicą: "skoro z tymi liczbami jest coś nie tak, to zostawmy je w spokoju. Może to nie liczby rządzą światem? Weźmy się za geometrię. Może to nie liczby są ważne, a ich proporcje, stosunki?".
Zwolennicy pierwszego kierunku są znani jako akuzmatycy - choć to, że istotnie "są znani", jest dużą przesadą. Przetrwali jeszcze kilka wieków i na tym się skończyło. Ci drudzy nazwali siebie matematykami[2] (od greckiego mathein, czyli "wiedzieć, uczyć się"; mathēma zaś to "coś, czego się uczymy"). Nie musimy nikomu wyjaśniać, że właśnie to matematyczne podejście do tajemnicy liczb niewymiernych wygrało: przetrwało w dobrej kondycji dwadzieścia pięć stuleci i rozwinęło się w Królową Nauk.
Tak więc wywyższanie geometrii to europocentryzm. Geometria jest źródłem matematyki europejskiej. Znaczenie szkoły pitagorejskiej polegało na stworzeniu paradygmatu stosunku Europejczyka do świata: badać, rozumieć, podbijać. Algebra zaś, jak sama nazwa wskazuje, jest pochodzenia arabskiego. Jest młoda, ma ok. 900 lat. Stosuje metody terrorystyczne: panoszy się w każdym dziale matematyki.
Termin arche znaczy "zasada świata", najbardziej elementarne, najbardziej zasadnicze tworzywo świata. Tales jako arche uważał wodę. Anaksymenes - powietrze, Heraklit - ogień. Anaksymander mówił, że arche musi cechować apeiron (bezkres, nieskończoność). Ale to szkoła pitagorejska dała taką odpowiedź na pytanie o arche, która przetrwała dwa i pół tysiąclecia i ma się dobrze - choć bardzo się zmieniła. Nie wierzymy już, że świat jest rządzony przez liczby w dosłownym, fizycznym sensie, ale że ma jakąś strukturę matematyczną. To pitagorejczycy, wznosząc się na wyżyny abstrakcji, otwarli matematyce drogę do nauk przyrodniczych. Racjonalność przyrody rozumiano różnie. W podejściu platońskim przyrodę traktuje się jako cień świata idei. Uważam, że każdy matematyk jest w głębi duszy platonikiem, chociażby temu gwałtownie zaprzeczał. Bardziej chodzący po ziemi Arystoteles powiedziałby, że racjonalność tkwi w istocie rzeczy.
Zatrzymam się przez chwilę na Arystotelesie i pojęciu formy. W największym skrócie można powiedzieć, ze forma to sposób istnienia treści. Jak rozwinął to Arystoteles? Własności pojęciowe, ogólne i gatunkowe rzeczy nazwał formą, a pozostałe materią. Materia jest tym, co w substancji jest wielością, różnorodnością, podzielnością. Materia nie istnieje samodzielnie, tak samo jak nie istnieją samodzielnie idee - wszystko to są abstrakcje.
Naprawdę istnieją jedynie konkretne zespoły materii i formy. Ten zasadniczy pogląd Arystotelesa nazwano potem hilemorfizmem (od hylē - materia i morphē - forma). Forma była dla Arystotelesa ważniejsza, pojmował ją jako realny odpowiednik pojęcia, tak samo jak Platon ideę transcendentną. Jeden z najwybitniejszych matematyków współczesnych, bourbakista Alexander Grothendieck (1928-2014) powiedział wyraźnie, że w matematyce interesowały go nie konkretne funkcje, liczby i przestrzenie, a właśnie formy, a więc sposoby istnienia treści.
Protagoras z Abdery (ok. 480-410 p.n.e.), filozof grecki, jeden z czołowych sofistów, uważał, że geometria nie jest nauką, bo mówi o rzeczach nieistniejących: punktach, liniach, bryłach. Takich rzeczy przecież nie ma. Trudno się z tym poglądem nie zgodzić: w świecie fizycznym tych obiektów nie ma. Ale przecież o rzeczach istniejących najlepiej mówi się, gdy stworzymy do tego odpowiednie pojęcia. A o korzyściach z uprawiania geometrii nikt nie wątpi.
Wszyscy wiemy, że geometrię "skodyfikował" Euklides (żyjący w latach ok. 365 - ok. 300 p.n.e.), w swoim słynnym dziele "Elementy". Znalazłem związany z tym ładny cytat:
Kowboje wiedzą, jak skrępować byczka albo wojowniczego mustanga tak mocno, że zwierzę nie może się poruszyć ani pomyśleć. Odpowiedni węzeł nazywa się hog-tie i to właśnie Euklides zrobił z geometrią.
E.T. Bell.
Gdy Euklides sformułował zasady (aksjomaty) geometrii, jako Piąty Postulat przyjął warunek, że przez punkt nieleżący na prostej można poprowadzić dokładnie jedną[3] prostą równoległą do danej. Przez dwa tysiące lat matematycy starali się wykazać, że postulat ten jest zależny od pozostałych, że da się z nich wyprowadzić. Wszystkie dowody okazywały się fałszywe. Ale nawet tak wielki matematyk, jakim był Carl Friedrich Gauss, nie dopuszczał myśli, że geometria, która odrzucałaby ten postulat, miałaby sens. Trzeba było zupełnie nowego myślenia, by mieć odwagę do stworzenia tej zupełnie nowej geometrii. Zrobił to Mikołaj Łobaczewski i niezależnie od niego János Bolyai, a wkrótce potem (1854) Bernhard Riemann w swoim wykładzie habilitacyjnym na uniwersytecie w Getyndze wprowadził tak bardzo ogólną geometrię, stwarzając nowy topos przestrzeni. Piszę o tym niżej.
Nie ma królewskich dróg w geometrii!
(Euklides do króla egipskiego Ptolomeusza, ok. 300 p.n.e., wg innych źródeł Arystoteles do Aleksandra Macedońskiego, ok. 335 p.n.e.).
Euklides narzucił już na zawsze styl uprawiania geometrii i właściwie całej matematyki. Tworząc teorię matematyczną, musimy przyjąć jakieś pojęcia jako znane i niepodlegające definiowaniu. Musimy następnie wyodrębnić pewniki i sformułować aksjomaty. Słowo "pewnik" ma inny odcień znaczeniowy niż aksjomat. Jest to rzecz niewymagająca dowodu ze względu na swoją oczywistość: 2 + 2 = 4.
Aksjomat to coś przyjętego sztucznie i różne teorie mogą mieć nawet sprzeczne aksjomaty. Przez stulecia "stylem geometrycznym" nazywano każdą rozprawę, napisaną w nudnej, ale pożytecznej formie: "założenie, teza, dowód, założenie, teza, dowód…". Fascynacja stylem i perfekcją, z jaką Euklides dowodził twierdzeń, prowadziła do podkreślania ścisłości własnych rozważań przez określanie, że dzieło zostało napisane modo geometrico. Tak właśnie pisał swoje dzieła filozoficzne Baruch Spinoza.
W grupie tzw. pięciu postulatów Euklidesa znajdujemy następujące stwierdzenia:
- Każde dwa punkty można połączyć linią prostą.
- Ograniczoną prostą można dowolnie przedłużyć.
- Z każdego punktu możemy narysować okrąg o dowolnym promieniu.
- Wszystkie kąty proste są równe. Piąty postulat Euklidesa można wyrazić np. tak:
- Jeśli dwie proste na płaszczyźnie tworzą z trzecią kąty jednostronne wewnętrzne o sumie mniejszej od dwóch kątów prostych, to te proste, po przedłużeniu, przetną się, i to z tej właśnie strony.
Po niepowodzeniach ze zrozumieniem struktur liczbowych, Grecy uknuli hasło "zostawmy liczby kupczykom" i cała matematyka grecka oparta była na geometrii. Dzieła Apoloniusza z Pergi i Archimedesa są wprowadzeniem w matematykę, którą dzisiaj zalicza się do uniwersyteckiej.
Za jednego z ostatnich kontynuatorów greckiej myśli filozoficznej uchodzi Plotyn (205-270 n.e.). Późniejsi filozofowie objaśniają już świat z chrześcijańskiego punktu widzenia. Leszek Kołakowski nazywa jego myśli "rdzeniem europejskiej metafizyki". Matematyka jako taka nie jest w dziełach Plotyna obecna, unosi się tylko jej "duch', gdy Plotyn wyraźnie nawiązuje do idei Platona o istnieniu Jednego. Dziś powiedzielibyśmy: jedności, jedności całego świata.
***
Tyle powiedziałem w pierwszej części wykładu uczniom Krajowego Funduszu na rzecz Dzieci. Ciąg dalszy za miesiąc.
***
Wypowiadam się w moim kąciku, o matematyce - od pewnego czasu o jej nauczaniu, dydaktyce i związanych z tym rzeczach. Nie zdziwiłem się, że pani mgr Anna Zalewska, piastująca przez pewien czas stanowisko Ministra Oświaty (wiem, że nazwa ministerstwa była inna, ale zmienia się ona zbyt często, bym mógł to ogarnąć), wybrała bardziej europotwórcze (= większa pensja w euro) stanowisko i zastosowała się do piosenki Jaromíra Nohavicy (nagrodzonego m.in. przez Radiową Dwójkę, za całokształt twórczości): "Mámo, svaž mi můj ranec, je ze mě europoslanec" (do znalezienia na YouTube, w dalszym ciągu piosenki są słowa dość nieprzyzwoite, chociaż jasne dla każdego Słowianina). To zrozumiałe: nie obchodzi nas nasz kraj, narozrabiałam, a wy się martwcie. Obrzydliwe, prawda?
Worka pieniędzy!
Michał Szurek
